Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Модуль $|x^2-1|$ раскрывается по-разному в зависимости от знака $x^2-1$, поэтому первое уравнение нужно разбить на 4 случая по знакам $x^2-1$ и $y^2-1$.

Если $x^2-1\le0$ и $y^2-1\le0$ (т.е. $|x|\le1,\,|y|\le1$), уравнение принимает вид $1-x^2-2x-x^2=1-y^2-2y-y^2$, что после переноса и разложения даёт $(y-x)(x+y+1)=0$ — пара прямых $y=x$ и $x+y=-1$.

Если $x^2\le1$, $y^2\ge1$: получаем $y=x^2+x-1$ — часть параболы.

Если $x^2\ge1$, $y^2\le1$: аналогично $x=y^2+y-1$ — вторая парабола.

Если $x^2\ge1$, $y^2\ge1$: уравнение сводится к $y=x$ — та же прямая, но в другой области.

Склеивая куски по границам областей ($x=\pm1,\,y=\pm1$), получаем, что множество решений первого уравнения — это прямая $y=x$, отрезок $AB$ прямой $x+y=-1$ между точками $A(-1;0)$ и $B(0;-1)$, а также две дуги парабол $\omega_1:\,y=x^2+x-1$ (от $B$ до $C(-1;-1)$) и $\omega_2:\,x=y^2+y-1$ (от $A$ до $C$).

Второе уравнение $x+y=a$ задаёт прямую $m$ с угловым коэффициентом $-1$, то есть параллельную отрезку $AB$ (или совпадающую с ним при $a=-1$).

Двигая прямую $m$ вдоль оси, считаем число пересечений с полученной фигурой: при $a=-1$ прямая совпадает с $AB$ — бесконечно много решений; при $a=-2$ прямая касается обеих дуг в точке $C$ и пересекает $y=x$ там же — одно решение; при $-2<a<-1$ прямая пересекает $y=x$ в одной точке и каждую из дуг $\omega_1,\omega_2$ ровно в одной точке (все три точки разные) — три решения; при остальных значениях $a$ — только одна точка пересечения с прямой $y=x$.

Значит, больше двух решений система имеет именно при $-2<a\le-1$ (включая $a=-1$, где решений бесконечно много, что больше двух).