Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Уравнение $|xy|=a$ разрешимо только при $a\ge 0$, поэтому для $a<0$ решений нет.

2. При $a=0$ система превращается в $(y-x)^2=0,\ xy=0$, откуда единственное решение $(0;0)$ — не подходит.

3. Пусть $a>0$. Первое уравнение $(ay-ax+2)(y-x+3a)=0$ равносильно объединению двух прямых: $$y=x-\frac{2}{a},\qquad y=x-3a.$$ Второе уравнение $|xy|=a$ равносильно объединению двух гипербол: $$y=\frac{a}{x},\qquad y=-\frac{a}{x}.$$ Таким образом исходная система распадается на 4 пары «прямая–гипербола», и общее число решений — сумма решений этих пар.

4. Для гиперболы $y=\dfrac{a}{x}$ подстановка даёт уравнения $x^2-\frac{2}{a}x-a=0$ и $x^2-3ax-a=0$, дискриминанты которых $\frac{4}{a^2}+4a>0$ и $9a^2+4a>0$ всегда положительны при $a>0$. Значит эта гипербола всегда даёт 4 решения (по 2 с каждой прямой), если прямые не совпадают.

5. Прямые совпадают при $\frac{2}{a}=3a\Rightarrow a=\sqrt{2/3}$ — тогда решений не больше 4, это не подходит.

6. Для второй гиперболы $y=-\dfrac{a}{x}$ получаем уравнения $x^2-\frac{2}{a}x+a=0$ и $x^2-3ax+a=0$. Чтобы всего получить 6 решений, нужно ровно 2 дополнительных решения — значит одно из этих уравнений должно иметь два различных корня, а другое не иметь корней вовсе (иначе будет 0 или 4 дополнительных решения). Это равносильно противоположным знакам дискриминантов: $$\left(\frac{4}{a^2}-4a\right)\left(9a^2-4a\right)<0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4(a^3-1)a(9a-4)}{a^2}>0.$$ Решая, получаем $0<a<\frac{4}{9}$ или $a>1$.

7. Проверяем, что исключённое значение $a=\sqrt{2/3}\approx0.816$ не попадает в найденный интервал, так как $\frac{4}{9}<\sqrt{2/3}<1$ — значит условие несовпадения прямых выполняется автоматически.

Итог: $a\in(0;\,4/9)\cup(1;\,+\infty)$.