ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметромУравнение окружности

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений 2 в степени левая круглая скобка 2 минус 2y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка |x| минус 2 правая круглая скобка в квадрате =8, 2 в степени левая круглая скобка 1 минус y в квадрате правая круглая скобка плюс x=a конец системы .$

имеет ровно 1 решение.

В подтеме 96 задач

Разбор

Главная идея: Ввести

t=2^{1-y^2}

с учётом того, что

t\le2

и каждому

t<2

соответствуют два

y

, а

t=2

— одно, и свести задачу к графическому анализу пересечения прямой с дугами окружностей.

Введём замену $t=2^{1-y^2}$ . Поскольку $y^2\ge0$ , показатель $1-y^2\le1$ , значит $0<t\le 2^1=2$ . При этом каждому $t\in(0,2)$ соответствуют два значения $y$ (симметричные $\pm y$ ), а значению $t=2$ — только $y=0$ .
Система принимает вид $\begin{cases}t^2+(|x|-2)^2=8,\\ t+x=a,\\ 0<t\le2.\end{cases}$
Раскроем модуль: для $x\ge0$ получаем окружность $t^2+(x-2)^2=8$ (центр $(2;0)$ , радиус $2\sqrt2$ ), для $x<0$ — окружность $t^2+(x+2)^2=8$ (центр $(-2;0)$ ). Из‑за ограничения $t\le2$ остаются только верхние дуги этих окружностей плюс их крайние точки при $t=2$ : $x=-4,\,0,\,4$ , то есть точки $(-4;2),(0;2),(4;2)$ .
Второе уравнение — прямая $t=a-x$ с угловым коэффициентом $-1$ .
Так как при $0<t<2$ каждая точка дуги даёт два значения $y$ , а при $t=2$ — одно, единственное решение возможно только если прямая касается графика ровно в одной из трёх точек $(-4;2),(0;2),(4;2)$ и не пересекает дуги при $t<2$ .
Подставляя эти точки в $t=a-x$ : для $(-4;2)$ — $a=2-4=-2$ ; для $(0;2)$ — $a=2$ ; для $(4;2)$ — $a=6$ . Проверка показывает, что при этих значениях прямая действительно не задевает остальные части дуг.

Итог: $a=-2,\ 2,\ 6$ .

Типичные ошибки

Не учитывают, что при $t<2$ каждому значению соответствуют два значения $y$ , из‑за чего теряют условие единственности решения
Забывают разбить $|x|$ на случаи $x\ge0$ и $x<0$ , теряя вторую окружность
Не проверяют, что прямая не пересекает дуги при $t<2$ , ограничиваясь только точками касания при $t=2$

Непонятно?

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Типичные ошибки

Похожие задачи