Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Решаем первое уравнение. Преобразуем его: $|x^2-5x+4|+ (x^2-5x+4)+10x|x|-10x^2=0$.

Если $x\ge0$, то $|x|=x$, слагаемые $10x|x|$ и $-10x^2$ уничтожаются, и остаётся $|x^2-5x+4|+(x^2-5x+4)=0$, то есть $x^2-5x+4\le0$, откуда $1\le x\le4$.

Если $x<0$, то $x^2-5x+4>0$ (сумма положительных чисел), значит $|x^2-5x+4|=x^2-5x+4$, и уравнение превращается в $9x^2+5x-4=0$. Корни $x=-1$ и $x=4/9$, из них только $x=-1$ подходит под условие $x<0$.

Итог: множество решений первого уравнения — $S=\{-1\}\cup[1;4]$.

2. Решаем второе уравнение. $x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0$ раскладывается на $(x-a)(x-(a-2))=0$, поэтому корни — $x=a$ и $x=a-2$ (они всегда различны, так как отличаются на 2).

3. Считаем количество решений системы. Система имеет решение, если хотя бы одно из чисел $a$, $a-2$ принадлежит $S$. Так как решения второго уравнения — это конкретные значения $x$, единственное решение системы получается, когда ровно одно из чисел $a$, $a-2$ лежит в $S$, а второе — нет.

Проверяем: при $a=-1$ получаем $a-2=-3\notin S$ — подходит. При $a\in[1,4]$ нужно, чтобы $a-2\notin S$, то есть $a\ne1$ и $a\notin[3,4]$, отсюда $a\in(1;3)$. При $a\in[3,6]$ (когда $a-2\in[1,4]$) нужно $a\notin S$, то есть $a\notin[3,4]$, отсюда $a\in(4;6]$.

Объединяя все случаи, получаем ответ.