Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Область определения первого уравнения: $x>-4,\ y<6$ (иначе корни не существуют). На этой области числитель можно разложить: $y^2-xy-7y+5x+10=(y-5)(y-x-2)$. Значит уравнение равносильно объединению двух лучей: $y=5$ (при $x>-4$) и $y=x+2$ (при $-4<x<4$, так как нужно $y<6$).

2. Второе уравнение $4a=ax-y$ даёт $y=a(x-4)$ — пучок прямых через точку $A(4;0)$, кроме вертикальной прямой $x=4$.

3. Считаем число пересечений прямой пучка с каждым из лучей.

Пересечение с $y=5$: $a(x-4)=5\Rightarrow x=4+\dfrac5a$. Условие $x>-4$ даёт $a>0$ или $a<-\dfrac58$.

Пересечение с $y=x+2$ (при $-4<x<4$): из $a(x-4)=x+2$ находим $x=\dfrac{4a+2}{a-1}$. Решая неравенства $-4<x<4$, получаем условие $a<\dfrac14$.

4. Итого, прямая пересекает первый луч при $a>0$ или $a<-\dfrac58$ (множество $A$), второй — при $a<\dfrac14$ (множество $B$). Система имеет ровно одно решение, если пересечение происходит только с одним лучом ($A\setminus B$ или $B\setminus A$), либо обе точки пересечения совпадают.

$A\setminus B=\{a\ge \tfrac14\}$, $B\setminus A=[-\tfrac58;0]$.

Прямые $y=5$ и $y=x+2$ пересекаются в точке $(3;5)$; через неё и через $(4;0)$ проходит прямая при $a=-5$ — тогда обе точки пересечения сливаются в одну, и решение единственно.

5. Объединяя все случаи, получаем искомое множество параметров.