Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Разбираем первое уравнение. Перепишем $y(y-7)=xy-5(x+2)$ как квадратное относительно $y$: $y^2-(x+7)y+5(x+2)=0$. Дискриминант равен $(x+7)^2-20(x+2)=(x-3)^2$ — полный квадрат, поэтому корни находятся легко: $y=\dfrac{(x+7)\pm(x-3)}{2}$, то есть $y=5$ или $y=x+2$. Это два луча (с учётом ограничения $x\le 6$): горизонтальный $y=5,\;x\le6$ и наклонный $y=x+2,\;x\le6$.

Шаг 2. Разбираем второе уравнение. При $y\neq2$ равенство $\dfrac{a(x-6)-2}{y-2}=1$ равносильно $y=a(x-6)$. Это семейство прямых, все они проходят через одну точку $(6;0)$ — «пучок» прямых с параметром $a$ как угловым коэффициентом.

Шаг 3. Геометрический смысл. Нужно, чтобы прямая пучка пересекала объединение двух лучей ровно в одной точке, причём точки с $y=2$ не считаются (исключены).

Шаг 4. Пересечение с лучом $y=5$. Из $a(x-6)=5$ получаем $x=6+5/a$. Условие $x\le6$ даёт $a<0$. Значит, эта точка существует только при $a<0$.

Шаг 5. Пересечение с лучом $y=x+2$. Из $a(x-6)=x+2$ находим $x=\dfrac{6a+2}{a-1}$ (при $a\ne1$). Условие $x\le6$ после преобразования даёт $\dfrac{8}{a-1}\le0$, то есть $a<1$.

Шаг 6. Анализ количества решений.

• При $a\ge1$: ни одна точка не попадает в область — решений нет.
• При $0\le a<1$: пересечения с лучом $y=5$ нет (нужно $a<0$), а с лучом $y=x+2$ есть ровно одна точка — единственное решение.
• При $a<0$: обе точки существуют, значит обычно два решения. Единственность возможна в двух особых случаях:

1. Точки совпадают — это происходит, когда прямая проходит через точку пересечения самих лучей $(3;5)$. Подставив, получаем $a=-\dfrac{5}{3}$.
2. Одна из точек имеет $y=2$ и исключается условием $y\ne2$. Из $y=x+2=2$ получаем $x=0$, тогда $a\cdot(-6)=2\Rightarrow a=-\dfrac13$ — вторая особая точка.

Итог. Единственное решение получается при $a=-\dfrac53,\;a=-\dfrac13$ и при всех $a\in[0;1)$.