Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Разбираемся с неравенством. Перепишем первый множитель как $y=-x^2-3x+4$ (парабола) и второй как $y=x+4$ (прямая). Произведение $(x^2+3x+y-4)(x-y+4)\ge 0$ означает, что точка $(x,y)$ лежит либо выше обеих кривых, либо ниже обеих. При $x\le 0$ это даёт две области, ограниченные параболой и прямой — их можно изобразить на чертеже: одна часть 'между' линиями сверху, другая — снизу, а угловая точка их пересечения слева при $x=-4$ (там $y=0$) — важная опорная точка границы.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением. $ax-y-2a+3=0 \Rightarrow y=a(x-2)+3$ — это семейство прямых, каждая из которых проходит через фиксированную точку $(2;3)$, а $a$ — угловой коэффициент (наклон).

Шаг 3. Условие единственности решения. Система имеет единственное решение, если прямая пучка пересекает объединение выделенных областей ровно в одной точке. Поворачивая прямую вокруг точки $(2;3)$, видим два предельных положения, дающих ровно одну точку пересечения:

1. прямая проходит через угловую точку границы $(-4;0)$ — тогда она 'задевает' область только в этой точке. Отсюда $a=\dfrac{3-0}{2-(-4)}=0{,}5$.

2. прямая касается параболы $y=-x^2-3x+4$ (касание — тоже одна общая точка). Подставляем $y=a(x-2)+3$ в уравнение параболы: $$-x^2-3x+4=a(x-2)+3 \Rightarrow x^2+(a+3)x-1-2a=0.$$ Касание означает, что это квадратное уравнение имеет один корень, то есть дискриминант равен нулю: $$D=(a+3)^2-4(-1-2a)=a^2+14a+13=0.$$ Корни: $a=-1$ и $a=-13$. Проверяем абсциссу точки касания $x_0=-\dfrac{a+3}{2}$: при $a=-13$ получаем $x_0>0$, что не подходит (нужна область при $x\le0$, а касание должно происходить именно в нужной части параболы). При $a=-1$ получаем $x_0=-1\le0$ — подходит.

Шаг 4. Итог. При остальных значениях $a$ прямая пересекает выделенные области либо бесконечно много раз (проходит вдоль границы или через внутренность), либо не пересекает вовсе. Единственное решение получается только при $a=-1$ и $a=0{,}5$.