Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Приводим неравенства к виду произведений.

Первое неравенство $x^2+18px+77p^2\le 0$ выделим полным квадратом: $$x^2+18px+81p^2-4p^2\le0\;\Rightarrow\;(x+9p)^2-(2p)^2\le0\;\Rightarrow\;(x+11p)(x+7p)\le0.$$

Второе неравенство $(x-324)^2\ge(29p)^2$ раскладываем как разность квадратов: $$(x-324-29p)(x-324+29p)\ge0.$$

Таким образом система равносильна $$\begin{cases}(x+11p)(x+7p)\le0,\\ (x-324-29p)(x-324+29p)\ge0.\end{cases}$$

2. Смысл каждого неравенства. Первое даёт отрезок $x$ между корнями $-11p$ и $-7p$ (по разные знаки квадратного трёхчлена). Второе даёт объединение двух луч­ей — $x\le 324-29p$ или $x\ge 324+29p$ (вне отрезка между этими корнями).

3. Геометрическая интерпретация. Строим на плоскости $pOx$ четыре прямые: $x=-11p,\;x=-7p$ (синие) и $x=324-29p,\;x=324+29p$ (красные). Для каждого $p$ первое неравенство задаёт вертикальный отрезок между синими прямыми, второе — область вне отрезка между красными прямыми. Решение системы для данного $p$ — пересечение этих множеств.

4. Когда пересечение состоит ровно из одной точки.

• При $p=0$ первое неравенство превращается в $x^2\le0$, то есть $x=0$ — единственная точка, а второе неравенство выполняется всегда. Значит, $p=0$ подходит.

• Для остальных $p$ единственная точка получается, когда синий отрезок «касается» границы красной области — то есть когда один из концов синего отрезка совпадает с одной из красных прямых, а весь остальной отрезок лежит внутри запрещённой зоны (между красными прямыми), кроме этой точки.

Рассматриваем два возможных касания:

а) правая красная прямая $x=324+29p$ совпадает с левым концом синего отрезка $x=-7p$: $$324+29p=-7p\;\Rightarrow\;36p=-324\;\Rightarrow\;p=-9.$$

б) левая красная прямая $x=324-29p$ совпадает с правым концом синего отрезка $x=-11p$: $$324-29p=-11p\;\Rightarrow\;18p=324\;\Rightarrow\;p=18.$$

При этих значениях $p$ проверяется, что остальная часть синего отрезка действительно попадает внутрь запрещённой зоны, значит пересечение — ровно одна точка.

5. Итог. Единственное решение система имеет при $$p=-9,\quad p=0,\quad p=18.$$