Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Замена переменных. Введём $u=5^{x}>0,\ v=5^{y}>0$. Тогда $25^{x}=u^{2}$, $5^{x+y}=uv$, $25^{y}=v^{2}$, и система принимает вид $$u^{2}-uv\le \dfrac{24a-15}{3a-2},\qquad 3uv-4v^{2}\ge 8.$$

Комбинируем неравенства. Вычтем из первого неравенства второе (это законно, поскольку второе — верное неравенство, и оно уменьшает правую часть при переносе): $$u^{2}-4uv+4v^{2}\le \dfrac{24a-15}{3a-2}-8=\dfrac{1}{3a-2}.$$ Левая часть — полный квадрат: $(u-2v)^{2}\le \dfrac{1}{3a-2}$.

Необходимое условие. Так как $(u-2v)^{2}\ge0$ всегда, для существования хоть одного решения нужно, чтобы правая часть была неотрицательна, то есть $\dfrac{1}{3a-2}\ge0\Rightarrow 3a-2>0\Rightarrow a>\dfrac{2}{3}$ (при $a=2/3$ знаменатель исходных дробей равен нулю — выражение не определено, решений нет; при $a<2/3$ правая часть отрицательна, неравенство невозможно).

Достаточность. При $a>2/3$ подберём $u=2v$ — тогда полученное неравенство обращается в равенство $0\le \frac{1}{3a-2}$, что верно. Подставив $u=2v$ в исходную систему, получаем $2v^{2}\ge8$ и $2v^{2}\le 8+\dfrac{1}{3a-2}$ (так как $\frac{24a-15}{3a-2}=8+\frac{1}{3a-2}$). Поскольку $\frac{1}{3a-2}>0$, интервал $[8,\,8+\frac{1}{3a-2}]$ непустой, и можно взять $2v^{2}=8$, то есть $v=2,\ u=4$ (оба положительны, как требуется). Значит пара $x=\log_{5}4,\ y=\log_{5}2$ — решение исходной системы при любом $a>2/3$.

Таким образом система имеет решение ровно при $a\in\left(\dfrac23;+\infty\right)$.