Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Приводим уравнение к прямым. Первое уравнение системы после выделения полных квадратов $x^2-2x+1-(y^2+4y+4)=0$ даёт $(x-1)^2-(y+2)^2=0$, то есть $(x-y-3)(x+y+1)=0$. Значит, первое уравнение задаёт объединение двух перпендикулярных прямых $y=x-3$ и $y=-x-1$.

Шаг 2. Приводим неравенство к кругу. Аналогично второе неравенство сворачивается в $(x-a-1)^2+(y-a)^2\le(2a-1)^2$ — это круг с центром $(a+1,\,a)$ и радиусом $R=|2a-1|$ (при $a=1/2$ вырождается в точку $(3/2,1/2)$, не лежащую на прямых).

Шаг 3. Условие единственного решения. Единственная точка пересечения возможна только если одна прямая касается окружности, а вторая не пересекает её (пересечение по двум точкам или касание сразу двумя прямыми даёт больше одного решения).

Шаг 4. Касание с $y=-x-1$. Центр окружности всегда лежит на прямой $y=x-1$, перпендикулярной к $y=-x-1$, поэтому касание происходит в фиксированной точке $(0,-1)$. Подставив её в уравнение окружности, получаем $2a^2-8a-1=0$, откуда $a=\dfrac{4\pm3\sqrt2}{2}$.

Шаг 5. Касание с $y=x-3$. Эта прямая параллельна $y=x-1$, расстояние между ними $\sqrt2$, значит касание при $R=\sqrt2$, т.е. $|2a-1|=\sqrt2$, откуда $a=\dfrac{1\pm\sqrt2}{2}$.

Шаг 6. Проверка второго условия для каждого корня. Сравнивая величины $R$ в найденных точках, устанавливаем: при $a=\dfrac{4-3\sqrt2}{2}$ вторая прямая ($y=x-3$) не пересекает круг — подходит; при $a=\dfrac{4+3\sqrt2}{2}$ прямая $y=x-3$ пересекает круг — не подходит. Аналогично при $a=\dfrac{1+\sqrt2}{2}$ прямая $y=-x-1$ не пересекает круг — подходит, а при $a=\dfrac{1-\sqrt2}{2}$ пересекает — не подходит.

Итог. Единственное решение при $a=\dfrac{4-3\sqrt2}{2}$ и $a=\dfrac{1+\sqrt2}{2}$.