Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Комбинация прямыхГруппировка

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений новая строка y в квадрате плюс xy минус 4x минус 9y плюс 20=0, новая строка y=ax плюс 1, новая строка x больше 2 конец системы .$

имеет единственное решение.

В подтеме 96 задач

Разбор

Главная идея: Разложить квадратное по

y

уравнение на множители, свести систему к пересечению прямой пучка

y=ax+1

с объединением двух открытых лучей, и определить диапазоны наклона

a

, при которых число точек пересечения равно единице.

Приведём уравнение окружности‑кривой к разложению: $y^2+xy-4x-9y+20=0$ можно записать как $(y-4)x+(y-4)(y-5)=0$ , то есть $(y-4)(x+y-5)=0$ . Это означает, что уравнение задаёт объединение двух прямых: $y=4$ и $y=5-x$ .
Условие $x>2$ отсекает от каждой прямой луч без начальной точки: от $y=4$ получаем луч $BD$ (точка $B(2,4)$ исключена), от $y=5-x$ — луч $CE$ (точка $C(2,3)$ исключена).
Вторая линия системы $y=ax+1$ — это пучок прямых, проходящих через фиксированную точку $A(0,1)$ с угловым коэффициентом $a$ . Нужно найти, при каких $a$ такая прямая пересекает объединение лучей $BD\cup CE$ ровно в одной точке.
Найдём «критические» наклоны — прямые $AB$ и $AC$ : $k_{AB}=\dfrac{4-1}{2-0}=1{,}5\Rightarrow y=1{,}5x+1$ , $k_{AC}=\dfrac{3-1}{2-0}=1\Rightarrow y=x+1$ .
Двигая прямую $y=ax+1$ вокруг точки $A$ (меняя $a$ от $-\infty$ до $+\infty$ ), отслеживаем число пересечений с лучами:

при $a\ge 1{,}5$ прямая проходит выше точки $B$ (сама точка $B$ не входит в луч) — пересечений нет;
при $1\le a<1{,}5$ прямая пересекает только луч $BD$ — одна точка;
при $0<a<1$ прямая пересекает оба луча — две точки, не подходит;
при $-1<a\le 0$ прямая пересекает только луч $CE$ — одна точка;
при $a\le -1$ пересечений нет.

Условию «единственное решение» удовлетворяют промежутки, где ровно одна точка пересечения: $a\in(-1,0]\cup[1,1{,}5)$ .

Не заметить, что концы лучей (точки $B$ и $C$ ) исключены из-за строгого неравенства $x>2$ , и включить их в границы промежутков как замкнутые.
Ошибка при разложении квадратного трёхчлена $y^2-9y+20$ на множители, что приводит к неверному уравнению прямых.
Не учесть случай, когда прямая пересекает сразу оба луча (при $0<a<1$ ), и посчитать такие значения подходящими под условие единственности.

Непонятно?

Похожие задачи