Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Обе части системы равны параметру $a$, значит правые части исходных уравнений равны друг другу: $$x^2+2x+5=(2x+8-2y)y-5.$$ Преобразуем: раскрываем скобки, переносим всё влево: $$x^2+2x+10-2xy-8y+2y^2=0,$$ или, собирая по $x$, $$x^2+2(1-y)x+(2y^2-8y+10)=0.$$ Это уравнение получилось при вычитании двух уравнений системы, поэтому параметр $a$ в нём исчез — оно является необходимым условием для ЛЮБОГО решения $(x,y)$ системы, независимо от значения $a$.

Рассмотрим его как квадратное относительно $x$. Чтобы существовали действительные $x$, нужно $D\ge0$. Считаем $D/4$: $$\frac{D}{4}=(1-y)^2-(2y^2-8y+10)=-y^2+6y-9=-(y-3)^2.$$ Так как $-(y-3)^2\le0$ всегда, равенство $D/4\ge0$ возможно только при $D/4=0$, то есть при $y=3$. Тогда корень $x$ единственный: $$x=-(1-y)=y-1=2.$$ Значит, единственная пара $(x,y)$, которая в принципе может быть решением системы при каком-то $a$, — это $(2;3)$. Для остальных $y$ действительных $x$ вообще нет, то есть система не имеет решений.

Остаётся проверить, при каком $a$ точка $(2;3)$ действительно удовлетворяет системе. Подставим $x=2$ в первое уравнение: $$a=2^2+2\cdot2+5=4+4+5=13.$$ (Второе уравнение при этом автоматически даёт то же значение, так как мы использовали равенство правых частей.)

Таким образом, при $a=13$ система имеет ровно одно решение $(2;3)$, а при всех остальных $a$ решений нет вовсе (единственная кандидатная пара не подходит). Значит, требуемое значение параметра — $a=13$.