Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Область определения. Дробь в первом уравнении требует $x\neq0$.

Разбор первого уравнения. При $x>0$ модуль $|x|=x$, и после раскрытия получаем $x^2+y^2=1$ — правая половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

При $x<0$ $|x|=-x$, и уравнение приводится к $x^2+y^2=y$, то есть $x^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$ — левая половина окружности радиуса $\tfrac12$ с центром $(0;\tfrac12)$.

Второе уравнение. Из $ax-y+2a=0$ получаем $y=a(x+2)$ — пучок прямых через точку $(-2;0)$, наклон зависит от $a$.

Нужно найти $a$, для которых прямая пересекает объединение двух полуокружностей ровно в одной точке.

1. При движении прямой через точки правой полуокружности с $-1<y\le0$ (т.е. $0<x\le1$) прямая задевает дугу один раз. Точка $(0;-1)$ даёт $a=-\tfrac12$, точка $(1;0)$ даёт $a=0$. Значит подходит $-\tfrac12<a\le0$.

2. Верхняя точка правой полуокружности $(0;1)$ даёт единственное пересечение при $y=2a=1\Rightarrow a=\tfrac12$.

3. Касание левой полуокружности: подставляя $y=a(x+2)$ в $x^2+y^2=y$, получаем $(a^2+1)x^2+(4a^2-a)x+(4a^2-2a)=0$. Приравнивая дискриминант нулю, после преобразований получаем $-15a^2+8a=0$, откуда (с учётом $a\neq0$) $a=\dfrac{8}{15}$.

Объединяя все случаи, получаем итоговый набор значений параметра.