Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Второе уравнение $x|y|+2x-3=0$ равносильно $x(|y|+2)=3$, то есть $x=\dfrac{3}{|y|+2}$. Это график, состоящий из двух ветвей гиперболы: при $y\ge0$ — $y=\dfrac{3}{x}-2$, при $y<0$ — та же кривая, отражённая относительно оси $Ox$.

2. Первое уравнение $2x+2ay+a-3=0$ перепишем как $2x+a(2y+1)=3$. При любом $a$ оно задаёт прямую, проходящую через фиксированную точку $M\left(\dfrac32;-\dfrac12\right)$ (подставив $x=\dfrac32$, получаем $a\cdot0=0$ — верно для любого $a$). Значит первое уравнение — пучок прямых с центром в $M$.

3. При $a=0$ прямая вертикальна: $x=\dfrac32$, она пересекает гиперболу ровно в одной точке $\left(\dfrac32;0\right)$ — решение единственно.

4. При $a\ne0$ прямую можно выразить как $y=-\dfrac{x}{a}+\dfrac{3-a}{2a}$. Если $a<0$, прямая наклонена так, что пересекает график ровно в одной точке — это видно из расположения пучка относительно ветвей гиперболы.

5. При $a>0$ нужно найти момент касания прямой с верхней ветвью ($y\ge0$, $x=\dfrac{3}{y+2}$). Подставляя в уравнение прямой, получаем $2ay^2+(5a-3)y+2a=0$. Условие касания — равенство нулю дискриминанта: $(5a-3)^2=16a^2$, откуда $5a-3=\pm4a$, то есть $a=3$ или $a=\dfrac13$.

6. При $a=3$ соответствующий $y=-1<0$ — противоречит условию $y\ge0$, значит этот корень не подходит. Остаётся $a=\dfrac13$, при этом $y=1\ge0$ — касание действительно происходит на нужной ветви.

7. При $0<a<\dfrac13$ прямая пересекает график в двух и более точках (возможно, на разных ветвях), то есть решений больше одного. При $a>\dfrac13$ наклон прямой уже не позволяет второго пересечения — решение единственно.

Объединяя случаи $a\le0$ (единственное решение) и $a>\dfrac13$ (единственное решение), получаем ответ.