Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. ОДЗ первого уравнения требует $x\neq3$ (знаменатель) и положительности выражения под логарифмом, а второе уравнение требует $y>0$.

2. Пусть $x>3$: тогда $|x-3|=x-3$, дробь сокращается, и под логарифмом получаем $8-x^2-8=-x^2\le0$ — логарифм не определён никогда. Значит, при $x>3$ решений нет.

3. Пусть $x<3$: тогда $|x-3|=3-x$, и выражение под логарифмом равно $8-x^2+8=16-x^2$. Уравнение $\log(16-x^2)=\log y$ равносильно $y=16-x^2$, $y>0$, поскольку логарифмическая функция монотонна и взаимно однозначна.

4. Система переписывается как $\{y=16-x^2,\ y>0,\ x<3,\ y=|x+3|+a\}$. Условие $y>0$ для параболы даёт $-4<x<4$, а с учётом $x<3$ получаем рабочий промежуток $-4<x<3$.

5. Задача сводится к поиску $a$, при которых график $F(x)=|x+3|+a$ ("уголок" с вершиной в $x=-3$) пересекает дугу параболы $y=16-x^2$ на интервале $(-4;3)$ ровно один раз.

6. Единственная точка пересечения возможна двумя способами: — левая ветвь уголка (убывающая) пересекает параболу один раз, а правая (возрастающая) не выходит за пределы дуги: это выполняется, если значение уголка в точке $x=-4$ положительно ($1+a>0$) и в точке $x=3$ не превышает значения параболы 7 ($6+a\le7$), то есть $-1<a\le1$; — правая ветвь уголка касается параболы: $16-x^2=x+3+a \Rightarrow x^2+x+(a-13)=0$, дискриминант $D=1-4(a-13)=0$ даёт $a=\dfrac{53}{4}$.

Объединяя оба случая, получаем ответ.