Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Преобразуем второе уравнение. Запишем $y-ax-4a-4=0$ в виде $y=a(x+4)+4$. Это уравнение прямой, которая при любом $a$ проходит через фиксированную точку $(-4;4)$ — меняется только наклон прямой (получаем пучок прямых с центром в этой точке).

2. Разбираемся с неравенством. Неравенство $(yx-8)(y-x-2)\ge0$ означает, что множители одного знака: либо $yx\ge8$ и $y\ge x+2$, либо $yx\le8$ и $y\le x+2$. При $x<0$ первое условие даёт $y\le \dfrac{8}{x}$, поэтому решением служат точки, лежащие между графиком гиперболы $y=\dfrac{8}{x}$ и прямой $y=x+2$ (включая границы). При $x=0$ (граница по условию $x\le0$) множитель $yx-8=-8<0$, поэтому остаётся только $y\le x+2=2$. Так область для $x\le0$ — «полоса» между гиперболой и прямой $y=x+2$, у прямой $x=0$ она обрывается в полупрямую $y\le2$.

3. Находим, когда прямая пучка попадает в область. Задача сводится к вопросу: при каких $a$ прямая $y=a(x+4)+4$ хоть где‑то (при $x\le0$) попадает в эту область.

• При $a=0$ прямая горизонтальна ($y=4$) и, как видно из построения, никогда не заходит в область — нет решений.
• Прямая проходит через границу области в точке $(0;2)$, когда $4a+4=2$, то есть $a=-\dfrac12$. При этом значении прямая лишь касается границы — получаем ровно одно решение.
• Для $a<-\dfrac12$ прямая идёт более «полого» и пересекает область на целом промежутке значений $x$ — бесконечно много решений.
• Для $-\dfrac12<a\le0$ прямая проходит между этими крайними положениями и не задевает область — нет решений.
• Для $a>0$ при удалении в сторону $x\to-\infty$ прямая уходит в область (которая там тоже неограниченно расширяется вниз) — бесконечно много решений.

4. Итог. Система имеет хотя бы одно решение при $a\le -\dfrac12$ или $a>0$.