Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Второе неравенство: $2x^3+x^2+x<2a^3+a^2+a$. Перенесём всё влево и сгруппируем по формуле разности кубов и квадратов: $2(x^3-a^3)+(x^2-a^2)+(x-a)<0 \Rightarrow (x-a)\big(2x^2+(1+2a)x+2a^2+a+1\big)<0$.

Почему это можно сделать: $x^3-a^3=(x-a)(x^2+xa+a^2)$ и $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$, после чего выносим общий множитель $(x-a)$.

2. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена: $D=(1+2a)^2-8(2a^2+a+1)=-12a^2-4a-7=-8a^2-(2a+1)^2-6<0$ для всех $a$. Значит квадратичная часть всегда положительна, и неравенство равносильно простому $x<a$.

3. Первое неравенство: $4^{ax}\cdot2^{x^2}=2^{2ax+x^2}$, а $7^{-(x+2a)}=2^{-(x+2a)\log_2 7}$. Логарифмируя по основанию 2 (это возможно, так как обе стороны положительны, а логарифм монотонен), получаем $x^2+2ax<-(x+2a)\log_2 7$, откуда $(x+2a)(x+\log_2 7)<0$.

4. Разбираем знаки корней $-2a$ и $-\log_2 7\approx-2{,}807$:

• если $-2a=-\log_2 7$ — решений нет;
• если $-2a<-\log_2 7$ (т.е. $a>\log_2 7/2$) — промежуток $(-2a,-\log_2 7)$ лежит левее $-2$, решений на $[-2;1]$ нет;
• если $-2a>-\log_2 7$ — получаем $-\log_2 7<x<-2a$, а с учётом $x<a$ система превращается в $-\log_2 7<x<\min(a,-2a)$.

5. Так как $-\log_2 7<-2$, левая граница автоматически выполняется для любого $x\ge-2$. Значит на отрезке $[-2;1]$ найдётся решение тогда и только тогда, когда $\min(a,-2a)>-2$, то есть $a>-2$ и $-2a>-2\Rightarrow a<1$.

Объединяя условия, получаем $a\in(-2;1)$.