Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Перепишем неравенства системы в равносильном виде: $x\le 2a+6 \Leftrightarrow a\ge \dfrac{x}{2}-3$; $6x\ge x^2+a^2 \Leftrightarrow (x-3)^2+a^2\le 9$; $x+a>0 \Leftrightarrow a>-x$.

2. Работаем в плоскости $(x,a)$. Первое условие задаёт полуплоскость выше прямой $a=\frac{x}{2}-3$, второе — круг радиуса 3 с центром $(3;0)$, третье — полуплоскость выше прямой $a=-x$. Нужно найти все $a$, для которых при каком‑то $x\in[1;2]$ точка $(x,a)$ попадает во все три множества.

3. Сравним ограничения снизу: при $x\in[1;2]$ проверим, какая из прямых $a=-x$ или $a=\frac{x}{2}-3$ даёт большее значение. Решая $-x=\frac{x}{2}-3$, получаем $x=2$ — точка их пересечения (точка B, $a=-2$). Для $x<2$ выполняется $-x>\frac{x}{2}-3$, значит реальная нижняя граница — прямая $a=-x$ (строгое неравенство).

4. Верхняя граница — окружность: $a\le\sqrt{9-(x-3)^2}$. Эта функция возрастает на $[1;2]$ (так как $(x-3)^2$ убывает), а нижняя граница $-x$ убывает. Значит, интервал допустимых $a$ при $x=2$ — самый широкий и включает все интервалы для меньших $x$.

5. При $x=2$: нижняя граница $a>-2$, верхняя — из окружности $(2-3)^2+a^2\le9\Rightarrow a\le\sqrt8=2\sqrt2$ (точка A). Получаем интервал $(-2;\,2\sqrt2]$, который и является объединением всех допустимых значений $a$ по $x\in[1;2]$.

Итог: $a\in(-2;\,2\sqrt2]$.