Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Разложим квадратный трёхчлен по $x$ на множители. Проверкой убеждаемся, что $$2x^2+(5a-8)x+2a^2-10a+8=(2x+a-4)(x+2a-2).$$ Таким образом первое неравенство принимает вид $(2x+a-4)(x+2a-2)\le0$.

2. Второе неравенство раскрываем по модулю: $|2x-2a-1|\le3 \iff -3\le 2x-2a-1\le3 \iff x-2\le a\le x+1$.

3. Рассмотрим плоскость $xOa$. Прямые $a=-2x+4$ и $a=-\dfrac{x}{2}+1$ — это границы, на которых обращаются в нуль множители первого неравенства; между ними (включая границы) произведение неположительно, значит первому неравенству соответствует полоса, ограниченная этими двумя прямыми.

Второму неравенству соответствует полоса между прямыми $a=x-2$ и $a=x+1$.

4. Система имеет решение при тех $a$, для которых при некотором $x$ точка $(x,a)$ попадает одновременно в обе полосы, то есть нужно найти проекцию пересечения этих двух полос на ось $a$.

5. Находим точки пересечения границ:

• $a=-2x+4$ и $a=x+1\Rightarrow x=1,\ a=2$;
• $a=-2x+4$ и $a=x-2\Rightarrow x=2,\ a=0$;
• $a=-\dfrac{x}{2}+1$ и $a=x+1\Rightarrow x=0,\ a=1$;
• $a=-\dfrac{x}{2}+1$ и $a=x-2\Rightarrow x=2,\ a=0$.

Эти точки показывают, что общая часть двух полос (пересечение областей, где выполняются оба неравенства) существует для $a$ от $0$ до $2$, а при выходе за эти границы полосы расходятся и не пересекаются.

6. Следовательно, система имеет хотя бы одно решение при $a\in[0;2]$.