Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Первое уравнение $|2x+3y|+|2x-3y|=7$ раскрываем по областям знаков выражений $2x+3y$ и $2x-3y$. В каждой из четырёх областей модули снимаются со своим знаком, и получаются четыре прямые: $x=\pm\dfrac74$, $y=\pm\dfrac76$. Значит, график — прямоугольник $ABCD$ с вершинами $A(7/4;7/6)$, $B(7/4;-7/6)$, $C(-7/4;-7/6)$, $D(-7/4;7/6)$.

Второе уравнение приводим к виду $x^2+(y+2)^2=a^2$ — это окружность с центром $O(0;-2)$ и радиусом $r=|a|$ (при $a=0$ вырождается в точку).

Система имеет решение, когда окружность пересекает (или касается) прямоугольник, то есть когда $r$ лежит между минимальным и максимальным расстоянием от центра $O$ до точек прямоугольника.

Ближайшая точка прямоугольника к $O$ — точка $(0;-7/6)$ на стороне $BC$, так как $x=0$ попадает в отрезок $[-7/4;7/4]$. Расстояние: $|{-2-(-7/6)}|=\dfrac56$.

Самые дальние точки — верхние вершины $A$ и $D$: расстояние $\sqrt{(7/4)^2+(2+7/6)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{16}+\dfrac{361}{36}}=\dfrac{\sqrt{1885}}{12}$.

Значит, пересечение есть при $\dfrac56\le|a|\le\dfrac{\sqrt{1885}}{12}$, что равносильно объединению $a\in\left[-\dfrac{\sqrt{1885}}{12};-\dfrac56\right]\cup\left[\dfrac56;\dfrac{\sqrt{1885}}{12}\right]$.