ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметромВведение замены

Найдите все значения параметра a, при которых система

система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =a в кубе , новая строка левая круглая скобка 1 плюс 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =a конец системы .

имеет хотя бы одно решение.

В подтеме 96 задач
Разбор
Главная идея: Замена t=2x>0t=2^x>0 сводит систему к уравнениям относительно t,yt,y; после исключения yy задача сводится к нахождению aa, для которых a2−1a\dfrac{a^2-1}{a} попадает в диапазон значений функции −1(1+t)2-\dfrac{1}{(1+t)^2} при t>0t>0, то есть в интервал (−1,0)(-1,0).

1. Замена переменной. Так как 2x2^x при x∈Rx\in\mathbb{R} пробегает все значения t>0t>0 (и обратно, каждому t>0t>0 соответствует единственный x=log⁡2tx=\log_2 t), задача равносильна вопросу: при каких aa система t(y+1)(1−yt)=a3,(1+t)(1−yt)=at(y+1)(1-yt)=a^3,\qquad (1+t)(1-yt)=a имеет решение с t>0t>0 (переменная yy любая).

2. Преобразование системы. Из второго уравнения 1−yt=a1+t1-yt=\dfrac{a}{1+t}. Подставив в первое и раскрыв, после элементарных преобразований получаем равносильную систему a3−a=−(a1+t)2,y=1t−at(1+t).a^3-a=-\left(\frac{a}{1+t}\right)^2,\qquad y=\frac1t-\frac{a}{t(1+t)}. Второе уравнение всегда разрешимо относительно yy при любых aa и t>0t>0 — оно ничего не запрещает. Значит, существование решения зависит только от первого уравнения.

3. Случай a=0a=0. Уравнение выполняется тождественно (обе части равны нулю), решение существует, например (t,y)=(1,1)(t,y)=(1,1), значит a=0a=0 подходит.

4. Случай a≠0a\neq0. Делим на aa: a2−1a=−1(1+t)2.\frac{a^2-1}{a}=-\frac{1}{(1+t)^2}. Так как при t>0t>0 выражение 1(1+t)2\dfrac{1}{(1+t)^2} непрерывно и пробегает весь интервал (0,1)(0,1) (при t→0+t\to0^+ стремится к 1, при t→+∞t\to+\infty — к 0), правая часть −1(1+t)2-\dfrac{1}{(1+t)^2} принимает все значения из (−1,0)(-1,0). Значит уравнение имеет решение при t>0t>0 тогда и только тогда, когда −1<a2−1a<0.-1<\frac{a^2-1}{a}<0.

5. Решение неравенства. Разбиваем на два: a2−1a<0\dfrac{a^2-1}{a}<0 и a2−1a>−1⇔a2+a−1a>0\dfrac{a^2-1}{a}>-1\Leftrightarrow \dfrac{a^2+a-1}{a}>0. Методом интервалов (с учётом знака aa) получаем −1−52<a<−1или−1+52<a<1.\frac{-1-\sqrt5}{2}<a<-1\quad\text{или}\quad \frac{-1+\sqrt5}{2}<a<1.

6. Итог. Объединяя случай a=0a=0 с найденными интервалами, получаем ответ.

Типичные ошибки

  • Забывают, что 2x2^x принимает лишь положительные значения, и рассматривают tt как произвольное число, теряя ограничение t>0t>0.
  • Не проверяют отдельно случай a=0a=0, при котором знаменатель aa обращается в ноль и деление невозможно.
  • Неверно определяют область значений функции 1(1+t)2\dfrac{1}{(1+t)^2} на t>0t>0 (например, включают границы 0 и 1), что приводит к ошибкам в границах итоговых интервалов.
Непонятно?

Похожие задачи