Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Из второго уравнения $y=ax-5$. Подставим это выражение в первое уравнение вместо $y$: $$6x^2-5x(ax-5)+(ax-5)^2+x-(ax-5)-2=0.$$ Раскрываем скобки и приводим подобные — получаем уравнение относительно одной переменной $x$: $$(a^2-5a+6)x^2+(26-11a)x+28=0. \quad (*)$$ Каждому решению $x$ уравнения $(*)$ соответствует ровно одно значение $y=ax-5$, поэтому число решений системы равно числу корней $(*)$ по $x$. Нужно найти $a$, при которых $(*)$ имеет ровно один корень.

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, уравнение становится линейным (или вырожденным), и линейное уравнение $bx+c=0$ с $b\neq0$ всегда имеет ровно один корень. Решаем $a^2-5a+6=0\Rightarrow a=2$ или $a=3$.

Если $a\neq2,3$, коэффициент при $x^2$ не равен нулю, и $(*)$ — квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Считаем $$D=(26-11a)^2-4\cdot28(a^2-5a+6)=9a^2-12a+4=(3a-2)^2.$$ Приравниваем к нулю: $(3a-2)^2=0\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}$.

Собираем все найденные значения параметра: $a=\dfrac23,\; a=2,\; a=3$ — при них система имеет ровно одно решение.