Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Перепишем второе уравнение системы. Из $x-\sqrt{48-y^2-8y}=2$ получаем $x-2=\sqrt{64-(y+4)^2}$ (выделили полный квадрат: $48-y^2-8y=64-(y+4)^2$). Так как левая часть равна корню, она неотрицательна, то есть $x\ge2$. Возведя в квадрат, получаем $(x-2)^2+(y+4)^2=64,\;x\ge2$ — это правая половина окружности с центром $C(2;-4)$ и радиусом $8$.

Первое уравнение $y=ax^2+1$ задаёт параболу с вершиной $(0;1)$: ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$, при $a=0$ — горизонтальная прямая $y=1$.

Задача сводится к поиску значений $a$, при которых эта параболы пересекает правую полуокружность хотя бы в одной точке. Вершина параболы $(0;1)$ лежит внутри окружности (расстояние до центра $\sqrt{4+25}=\sqrt{29}<8$), а сама полуокружность ограничена по вертикали точками с $x=2$: верхней $A(2;4)$ и нижней $B(2;-12)$ (концы диаметра, лежащие на прямой $x=2$).

При увеличении $|a|$ ветви параболы «сжимаются» к оси $Oy$, и предельные положения касания полуокружности достигаются именно в точках $A$ и $B$. Подставим их координаты в уравнение параболы:

для $A(2;4)$: $4=4a+1\Rightarrow a=\dfrac{3}{4}$;

для $B(2;-12)$: $-12=4a+1\Rightarrow a=-\dfrac{13}{4}$.

При $a>\dfrac34$ или $a<-\dfrac{13}{4}$ парабола проходит выше точки $A$ или ниже точки $B$ и не пересекает дугу — решений нет. При $-\dfrac{13}{4}\le a\le\dfrac34$ парабола обязательно пересекает полуокружность хотя бы в одной точке.

Следовательно, система имеет решения при $a\in\left[-\dfrac{13}{4};\dfrac34\right]$.