Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Разбираемся с корнем. Неравенство $2\sqrt{x-2}\ge 2$ равносильно $\sqrt{x-2}\ge 1$, а значит $x-2\ge 1$, то есть $x\ge 3$. Заодно это гарантирует, что подкоренное выражение неотрицательно. На отрезке $[4;5]$ условие $x\ge3$ выполняется автоматически, поэтому оно не сужает рабочий промежуток — просто говорим, что все нужные точки лежат в области, где корень определён.

2. Работаем с линейным неравенством по $a$. На $[4;5]$ множитель $x-1>0$, поэтому неравенство $a(x-1)\ge4$ можно смело делить на $x-1$ без смены знака: $a\ge\dfrac{4}{x-1}$.

3. Третье неравенство сразу перепишем как $a>3x-14$.

4. Ищем нужные $a$. Обозначим $f(x)=\dfrac{4}{x-1}$ (убывает на $[4;5]$: $f(4)=4/3,\ f(5)=1$) и $g(x)=3x-14$ (возрастает: $g(4)=-2,\ g(5)=1$). Нужно найти такие $a$, для которых хотя бы при одном $x\in[4;5]$ одновременно $a\ge f(x)$ и $a>g(x)$.

Поскольку $f(x)\ge1$ на всём отрезке (минимум в точке $x=5$), при $a\le1$ нет ни одного $x$, где $f(x)\le a$ (кроме, возможно, самой точки $x=5$ при $a=1$, но там $g(5)=1$, и строгое неравенство $a>g(5)$ не выполняется). Значит такие $a$ не подходят.

При $a>1$ берём $x=5$: $f(5)=1\le a$ и $g(5)=1<a$ — оба неравенства верны, значит решение есть.

Вывод: система имеет решение на $[4;5]$ ровно при $a>1$.