Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Из второго уравнения $x=0$ не подходит, поэтому делим на $x$: $$|y|+1-\dfrac{2}{x}=0\;\Rightarrow\;|y|=\dfrac{2}{x}-1,\quad x\ne0.$$ Правая часть неотрицательна только при $x>0$, значит график — это часть гиперболы $y=2/x$ (сдвинутой вниз на 1), отражённая вниз симметрично оси $Ox$ (получаем «уголок» вверх и вниз от кривой при $x>0$).

Первое уравнение при $a=0$ даёт $x=2$, тогда $2|y|=0\Rightarrow y=0$ — одна точка.

При $a\ne0$ выразим $y$: $$x+ay+a-2=0\;\Rightarrow\;y=-\dfrac1a(x-2)-1.$$ Это семейство прямых, все проходящие через фиксированную точку $(2,-1)$ (это видно, подставив $x=2,y=-1$ — уравнение выполняется при любом $a$), с угловым коэффициентом $k=-1/a$.

Если $a<0$, то $k>0$ — такая прямая пересекает только нижнюю ветвь графика (ту, что ниже оси $Ox$) ровно в одной точке — решение единственно для всех таких $a$.

Если $a>0$, то $k<0$ — прямая, поворачиваясь, задевает график сразу в трёх точках, пока не станет касательной к нижней ветви. Условие касания — совпадение значений функций и их производных: $$\dfrac2x-1=-\dfrac1a(x-2)-1,\qquad -\dfrac2{x^2}=-\dfrac1a.$$ Из второго уравнения $a=\dfrac{x^2}{2}$; подставляя в первое, после преобразований получаем $x=x^2\Rightarrow x=1$ (так как $x\ne0$), тогда $a=\dfrac12$.

При $a=\dfrac12$ прямая касается графика — получаем ровно две точки пересечения (одна — точка касания, вторая — обычная точка пересечения с другой веткой), поэтому это значение не подходит. При $a>\dfrac12$ прямая уже не задевает третью точку — остаётся одно решение. При $0<a\le\dfrac12$ — три (или две) точки, что не даёт единственности.

Также заметим: при $a\to+\infty$ прямая стремится к горизонтальной $y=-1$, что подтверждает поведение при больших $a$ — единственная точка сохраняется.

Собирая все случаи: $a\le0$ (единственное решение) и $a>\dfrac12$ (единственное решение). Итог: $$a\in(-\infty;0]\cup\left(\dfrac12;+\infty\right).$$