Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Перепишем первое условие. Первое уравнение — это произведение двух скобок, которое ≤0: $$\big[(x-3)^2+(y+4)^2-17\big]\cdot\big[(2x+7)^2+(2y-9)^2\big]\le 0.$$ Второй множитель — сумма квадратов, он всегда ≥0 и обращается в 0 только в единственной точке $M(-3{,}5;\,4{,}5)$. Значит произведение ≤0 либо когда первая скобка ≤0 (а вторая >0) — это внутренность круга $(x-3)^2+(y+4)^2\le17$, либо когда вторая скобка =0, то есть в самой точке $M$ (тогда произведение равно 0 независимо от знака первой скобки). Проверка расстояния от $M$ до центра круга $(3,-4)$: $6{,}5^2+8{,}5^2=114{,}5>17$, значит $M$ лежит вне круга.

Таким образом, множество решений первого условия — это круг радиуса $\sqrt{17}$ с центром $(3,-4)$, к которому добавлена отдельная внешняя точка $M(-3{,}5;4{,}5)$.

2. Второе уравнение $ax+y=1$, то есть $y=1-ax$, задаёт прямую, проходящую через точку $(0,1)$ с угловым коэффициентом $-a$ (при любом $a$ прямая не вертикальна).

Чтобы система имела ровно одно решение, прямая должна пересекать объединение (круг ∪ точка $M$) ровно в одной точке. Возможны два сценария:

• прямая касается круга (одна общая точка) и при этом не проходит через $M$;
• прямая проходит через $M$, но не пересекает круг вовсе (тогда единственная общая точка — сама $M$).

3. Найдём условие касания. Подставим $y=1-ax$ в уравнение окружности: $$(x-3)^2+(1-ax+4)^2=17\;\Rightarrow\;(x-3)^2+(5-ax)^2=17.$$ Раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение: $$(1+a^2)x^2-(6+10a)x+17=0.$$ Касание — когда дискриминант равен нулю: $$\frac{D}{4}=(3+5a)^2-17(1+a^2)=0\;\Rightarrow\;4a^2+15a-4=0.$$ Решая, получаем $a=0{,}25$ или $a=-4$.

4. Проверим, не проходит ли при этих значениях прямая через точку $M$. Условие прохождения через $M$: $4{,}5=1+3{,}5a\Rightarrow a=1$. Значения $0{,}25$ и $-4$ не равны 1, значит прямая не проходит через $M$ — оба значения подходят.

5. Проверим второй сценарий — $a=1$. Подставим $a=1$ в выражение дискриминанта: $$\frac{D}{4}=8a^2+30a-8=8+30-8=30>0.$$ Значит при $a=1$ прямая пересекает круг в двух точках, и вместе с точкой $M$ система имела бы три решения — это не подходит.

Итог: единственное решение обеспечивают только значения $a=0{,}25$ и $a=-4$.