Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Выделяем полные квадраты. Первое уравнение $y=x^2-2x$ можно записать как $(x-1)^2=y+1$. Второе уравнение $x^2+y^2+a^2=2x+2ay$ перегруппируем: $(x^2-2x+1)+(y^2-2ay+a^2)=1$, то есть $(x-1)^2+(y-a)^2=1$.

Почему так делаем: выделение квадратов превращает уравнения в геометрически понятные объекты (парабола и окружность), а главное — позволяет исключить $x$ из второго уравнения.

Шаг 2. Исключаем $x$. Подставляем $(x-1)^2=y+1$ во второе уравнение: $(y-a)^2+y+1=1$, то есть $$y^2+(1-2a)y+a^2=0.$$ При этом обязательно нужно условие $y+1\ge 0$, то есть $y\ge -1$, иначе значение $(x-1)^2$ было бы отрицательным, что невозможно.

Шаг 3. Исходная система имеет решение $\iff$ у полученного квадратного уравнения есть корень $y\ge -1$. По теореме Виета/дискриминанту: $$y=\frac{2a-1\pm\sqrt{1-4a}}{2},$$ корень существует только при $1-4a\ge0$, то есть $a\le \frac14$.

Шаг 4. Условие $y\ge-1$ для хотя бы одного корня. Это равносильно совокупности: $$\sqrt{1-4a}\ge -1-2a \quad\text{или}\quad \sqrt{1-4a}\le 1+2a.$$

Шаг 5. Решаем иррациональные неравенства. Первое верно всегда, если правая часть отрицательна ($a>-\frac12$), а если $a\le-\frac12$ — нужно возводить в квадрат: $1-4a\ge(1+2a)^2$, что даёт $a\ge-2$. Второе требует $1+2a\ge0$ и $1-4a\le(1+2a)^2$, что даёт $a\ge0$. Объединяя обе ветви с учётом области $a\le\frac14$, получаем $a\in[-2;\ \frac14]$.

Ответ: $a\in\left[-2;\ \frac14\right]$.