ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Комбинация прямыхПеребор случаев

При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра c система уравнений

$система выражений новая строка bx плюс y=ac в квадрате , новая строка x плюс by=ac плюс 1 конец системы .$

имеет решения для любых значений параметра b?

В подтеме 96 задач

Разбор

Главная идея: Свести систему к одному линейному уравнению относительно

y

с коэффициентом

(1-b^2)

и потребовать его выполнения при критических значениях

b=\pm1

, где коэффициент обнуляется.

Из второго уравнения выразим $x$ : $x=ac+1-by$ — это позволит свести систему к одному уравнению относительно $y$ .
Подставим в первое уравнение: $b(ac+1-by)+y=ac^2$ , откуда после раскрытия скобок и группировки получаем $(1-b^2)y=ac^2-b(ac+1)\quad(1)$ а $x$ находится по формуле $x=ac+1-by$ $(2)$ .
Разрешимость исходной системы полностью определяется уравнением (1): если оно имеет решение по $y$ , то $x$ находится однозначно по (2).
По условию нужно, чтобы при некотором $c$ уравнение (1) выполнялось при любом $b$ , в том числе при $b=1$ и $b=-1$ , где коэффициент $(1-b^2)$ обращается в 0. Тогда правая часть тоже должна быть нулевой: $b=1:\ ac^2-(ac+1)=0,\qquad b=-1:\ ac^2+(ac+1)=0.$
Складывая и вычитая эти равенства, получаем систему $ac^2=0,\qquad ac+1=0.$
Из $ac^2=0$ следует $a=0$ или $c=0$ . При $a=0$ второе равенство даёт $1=0$ — противоречие. При $c=0$ второе равенство тоже даёт $1=0$ — противоречие.
Значит, ни при каком $a$ не найдётся $c$ , при котором уравнение (1) выполняется одновременно для $b=1$ и $b=-1$ , а тем более для всех $b$ . Следовательно, требуемых значений параметра $a$ не существует.

Типичные ошибки

Забывают, что при $b=\pm1$ уравнение (1) вырождается и коэффициент при $y$ равен нулю, из-за чего нужно отдельно требовать равенства нулю правой части.
Не проверяют оба критических значения $b=1$ и $b=-1$ одновременно, ограничиваясь только одним случаем.
Ошибочно считают, что уравнение (1) разрешимо для всех $b$ автоматически, не учитывая зависимость от $c$ и $a$ .

Непонятно?

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Типичные ошибки

Похожие задачи