Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Система $\begin{cases} bx+y=ac^2\\ x+by=ac+1\end{cases}$.

Если $b=0$, система сразу даёт $y=ac^2$, $x=ac+1$ — решение есть при любых $a,c$, значит на $a$ это условие не влияет.

Пусть $b\neq0$. Умножая уравнения на $b$ и вычитая, исключаем по очереди $x$ и $y$: получаем $(b^2-1)y=abc+b-ac^2$ и $(b^2-1)x=abc^2-ac-1$. Так как $y$ потом однозначно находится из первого уравнения исходной системы через $x$, разрешимость всей системы равносильна разрешимости уравнения с $x$.

Если $b\neq\pm1$, коэффициент $b^2-1\neq0$, и $x$ находится однозначно — решение есть всегда, ограничений на $a$ нет.

Опасные значения — $b=1$ и $b=-1$, там коэффициент при $x$ обнуляется, и уравнение превращается в условие на $a,c$:

при $b=1$: $ac^2-ac-1=0$; при $b=-1$: $ac^2+ac+1=0$.

По условию задачи для каждого такого $b$ должно найтись хотя бы одно $c$ — то есть оба уравнения (для $b=1$ и для $b=-1$) должны быть разрешимы относительно $c$ при данном $a$.

При $a=0$ оба превращаются в $-1=0$ — решений нет, значит $a=0$ не подходит.

При $a\neq0$ это квадратные уравнения относительно $c$. Разрешимость означает неотрицательность дискриминанта:

$D_1=a^2+4a\ge0 \Rightarrow a\le-4$ или $a\ge0$; $D_2=a^2-4a\ge0 \Rightarrow a\le0$ или $a\ge4$.

Оба условия должны выполняться одновременно (пересечение), исключая $a=0$: получаем $a\le-4$ или $a\ge4$.

Ответ: $a\in(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)$.