Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. ОДЗ первого уравнения: $x+3\ge 0$, т.е. $x\ge -3$ (иначе корень не определён).

2. Разложим квадратичную часть по $y$: $y^2-xy+x-3y+2=(y-1)(y-x-2)$. Проверка: раскрыв скобки, получаем исходное выражение, значит равенство верно.

3. Тогда первое уравнение равносильно $(y-1)(y-x-2)\sqrt{x+3}=0$, то есть произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю (с учётом ОДЗ $x\ge-3$). Получаем три множества точек: $y=1$, $y=x+2$, $x=-3$ — каждое при условии $x\ge -3$.

4. Второе уравнение $a-x-y=0$ задаёт прямую $y=-x+a$. Нужно, чтобы она пересекала объединение указанных трёх линий ровно в двух точках (с учётом $x\ge-3$).

5. Найдём точки пересечения прямой с каждой линией:

• с $x=-3$: единственная точка при любом $a$ (значение $y=a+3$).
• с $y=1$: $x=a-1$, входит в область при $a\ge -2$.
• с $y=x+2$: $x=\dfrac{a}{2}-1$, входит в область при $a\ge -4$.

6. Определим, когда эти точки совпадают, чтобы не пересчитать решения:

• пересечение $x=-3$ и $y=1$: $a=-2$;
• пересечение $x=-3$ и $y=x+2$: $a=-4$;
• пересечение $y=1$ и $y=x+2$: $a=0$.

7. Считаем число различных решений при разных $a$:

• $a\le -4$: только точка на $x=-3$ — 1 решение;
• $-4<a\le -2$: точки на $x=-3$ и на $y=x+2$ — 2 решения;
• $-2<a<0$: три различных точки — 3 решения;
• $a=0$: точки $y=1$ и $y=x+2$ совпадают — 2 решения;
• $a>0$: снова три решения.

Таким образом, ровно два решения получаются при $-4<a\le -2$ и при $a=0$.