Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Так как $|x|+|y|=a$ — сумма модулей, то обязательно $a\ge 0$. При $a=0$ получаем $x=y=0$, но тогда $y=\sqrt{x+4}=2\ne0$, значит $a=0$ не подходит, и далее считаем $a>0$.

2. Уравнение $|x|+|y|=a$ задаёт квадрат с вершинами на осях (диагонали длиной $2a$). Уравнение $y=\sqrt{x+4}$ — это «лежачая» полупарабола, сдвинутая на 4 влево. Меняя $a$, квадрат растёт, и число пересечений его сторон с полупараболой меняется: при малых $a$ пересечения нет, потом появляется касание, затем два пересечения, при $a=4$ кривая проходит через верхнюю вершину квадрата (три решения), а при дальнейшем росте $a$ снова может быть касание.

3. Чтобы найти точки касания, решаем уравнение $|x|+\sqrt{x+4}=a$ на количество корней. Разбиваем по знаку $x$: — при $x\ge0$: $\sqrt{x+4}=a-x \Rightarrow x^2-x(2a+1)+a^2-4=0$; — при $x<0$: $\sqrt{x+4}=a+x \Rightarrow x^2+x(2a-1)+a^2-4=0$.

4. Касание (единственный корень) соответствует $D=0$. Для первого уравнения: $(2a+1)^2-4(a^2-4)=0 \Rightarrow 4a+17=0 \Rightarrow a=-4{,}25$ — не подходит, так как $a\ge0$. Для второго уравнения: $(2a-1)^2-4(a^2-4)=0 \Rightarrow -4a+17=0 \Rightarrow a=4{,}25$.

5. Проверяем, что при $a=4{,}25$ точка касания $x=-\dfrac{2a-1}{2}=-3{,}75$ действительно лежит на стороне квадрата — да, лежит, значит касание реальное и даёт ровно два решения (по симметрии).

6. Анализируя изменение числа решений при увеличении $a$: при $a=2$ — одно решение (касание слева), для $2<a<4$ — два решения, при $a=4$ — три решения (кривая проходит через вершину квадрата), для $a>4$ число решений падает, и ровно два решения снова получаются только в момент касания $a=4{,}25$.

Итог: система имеет два решения при $a\in(2;4)$ и при $a=4{,}25$.