Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Второе уравнение: $\log_{2024}(3-y)=0 \Rightarrow 3-y=1 \Rightarrow y=2$. Значит, задача сводится к нахождению значений $a$, при которых уравнение $\log_{2023}\left(1012+1011\cdot\frac{|x|}{x}\right)+(x-2)^2=a$ имеет ровно два корня по $x$.

Выражение $\frac{|x|}{x}$ равно $-1$ при $x<0$ и $1$ при $x>0$, поэтому рассматриваем два случая отдельно.

При $x<0$: $1012-1011=1$, $\log_{2023}1=0$, уравнение принимает вид $(x-2)^2=a$. Корни $x=2\pm\sqrt a$. Отрицательным может быть только $x=2-\sqrt a$, и он отрицателен при $\sqrt a>2$, то есть при $a>4$. Тогда получаем ровно один отрицательный корень; при $a\le4$ — ни одного.

При $x>0$: $1012+1011=2023$, $\log_{2023}2023=1$, уравнение принимает вид $(x-2)^2=a-1$ (требует $a\ge1$). Корни $x=2\pm\sqrt{a-1}$. Корень $x=2+\sqrt{a-1}$ всегда положителен; корень $x=2-\sqrt{a-1}$ положителен, если $\sqrt{a-1}<2$, то есть $a<5$. Значит: