Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Раскроем модуль: уравнение $|y|=x^2-2x$ равносильно двум случаям в зависимости от знака $y$: $$\begin{cases}y\ge0,\\ y=x^2-2x\end{cases}\quad\text{или}\quad\begin{cases}y<0,\\ y=-x^2+2x.\end{cases}$$ Первое условие $y\ge0$ означает $x^2-2x\ge0$, т.е. $x\le0$ или $x\ge2$ — это части параболы $y=x^2-2x$, ветви идущие вверх. Второе условие $y<0$ означает $0<x<2$ — это часть параболы $y=-x^2+2x$, «горб» между точками $(0,0)$ и $(2,0)$ с максимумом $(1,1)$.

2. Все три куска соединяются в единую непрерывную кривую: слева уходит вверх, спускается к $(0,0)$, поднимается до $(1,1)$, опускается к $(2,0)$, затем снова уходит вверх.

3. Прямая $y=2x+a$ — это график $y=2x$, сдвинутый по вертикали на $a$, то есть семейство параллельных прямых с фиксированным угловым коэффициентом $2$.

4. Найдём, при каких $a$ прямая касается каждой из «внешних» ветвей. Для правой ветви $y=x^2-2x$ ($x\ge2$): подставляем $x^2-2x=2x+a\Rightarrow x^2-4x-a=0$. Дискриминант равен нулю при $a=-4$, при этом корень $x=2$ — именно точка стыка ветвей. Для левого горба $y=-x^2+2x$ ($0\le x\le2$): $-x^2+2x=2x+a\Rightarrow x^2+a=0$... (по решению) касание происходит при $a=0$ в точке $x=0$ — тоже точка стыка.

5. Значит, касания прямой с параболами происходят ровно в тех точках, где кривая переходит из одной ветви в другую (в «стыковых» точках $x=0$ и $x=2$). Из-за этого при переходе параметра $a$ через эти критические значения число пересечений не меняется — касание не «выбивает» лишнюю точку, потому что оно приходится ровно на границу перехода между кусками графика.

6. Так как весь график — монотонно уходящая вниз-вверх кривая с ровно двумя «выступающими» бесконечными ветвями (левой и правой), а горб между ними не может дать дополнительных пересечений без потери пересечений на ветвях, при любом $a$ прямая пересекает всю кривую ровно в двух точках.

Вывод: система имеет ровно два решения при любом значении параметра $a$.