Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Каждое уравнение системы задаёт прямую на плоскости $(x;y)$. Система имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда эти прямые совпадают, то есть все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого: $$\frac{8}{a-b}=\frac{a^2+ab+b^2}{26}=\frac{4}{2}=2.$$

Здесь важно, что коэффициент 8 у $x$ в первом уравнении и коэффициент 26 у $y$ во втором никогда не равны нулю, поэтому деление корректно и обе прямые можно привести к виду $y=kx+m$ — значит совпадение прямых полностью описывается системой равенств коэффициентов.

Из равенства $\dfrac{8}{a-b}=2$ получаем $a-b=4$.

Из равенства $\dfrac{a^2+ab+b^2}{26}=2$ получаем $a^2+ab+b^2=52$.

Подставляем $a=b+4$ во второе уравнение: $$(b+4)^2+(b+4)b+b^2=52.$$ Раскрываем скобки: $b^2+8b+16+b^2+4b+b^2=52$, то есть $3b^2+12b+16=52$, откуда $3b^2+12b-36=0$, и после деления на 3: $b^2+4b-12=0$.

Решаем квадратное уравнение: $D=16+48=64$, $\sqrt D=8$, значит $b=\dfrac{-4\pm8}{2}$, то есть $b=2$ или $b=-6$.

Соответственно $a=b+4$: при $b=2$ получаем $a=6$; при $b=-6$ получаем $a=-2$.

Оба набора удовлетворяют условию $a\neq b$ (иначе первый коэффициент второго уравнения был бы нулём), поэтому оба решения подходят.