ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметромГруппировка

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений дробь: числитель: xy в квадрате минус 2xy минус 4y плюс 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус y конец аргумента конец дроби =0y=ax конец системы .$

имеет три различных решения.

В подтеме 96 задач

Разбор

Главная идея: Разложить уравнение на множители, свести систему к пересечению прямой

y=ax

с прямой

y=2

и гиперболой

y=4/x

при ограничении

y<4

, и найти, при каких

a

получаются ровно три различные точки пересечения.

Разложим числитель первого уравнения на множители: $xy^2-2xy-4y+8=(y-2)(xy-4)$ . Значит первое уравнение эквивалентно $\dfrac{(y-2)(xy-4)}{\sqrt{4-y}}=0.$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю, то есть при $y<4$ . Тогда уравнение расщепляется на два случая: $y=2$ (прямая) и $xy=4$ , т.е. $y=\dfrac{4}{x}$ (гипербола), при этом обязательно $y<4$ .
Второе уравнение $y=ax$ — прямая через начало координат с угловым коэффициентом $a$ . Число решений системы равно числу точек пересечения этой прямой с указанной прямой $y=2$ и гиперболой $y=4/x$ , лежащих в области $y<4$ .
Пересечение с $y=2$ : из $ax=2$ получаем $x=2/a$ — ровно одна точка при любом $a\ne0$ (и она всегда удовлетворяет $y=2<4$ ).
Пересечение с гиперболой: из $ax=4/x$ получаем $x^2=4/a$ . Решения существуют только при $a>0$ , тогда $x=\pm 2/\sqrt a$ , то есть две точки — на правой и левой ветвях гиперболы.
Проверим условие $y<4$ для каждой ветви. Для левой ветви ( $x=-2/\sqrt a$ ) $y=-2\sqrt a<0<4$ — всегда подходит. Для правой ветви ( $x=2/\sqrt a$ ) $y=2\sqrt a$ , и $y<4$ равносильно $a<4$ .
Таким образом при $0<a<4$ получаем три точки пересечения: одну с прямой $y=2$ и две с гиперболой. Но нужно исключить случай совпадения точек. Подставив точку пересечения прямых $x=2/a,\;y=2$ в уравнение гиперболы $xy=4$ , получаем $a=1$ — при этом значении точка на прямой $y=2$ совпадает с точкой правой ветви гиперболы, и вместо трёх решений получается два.
При $a=4$ точка правой ветви попадает на границу $y=4$ , что запрещено условием $y<4$ , поэтому остаются только 2 решения. При $a\le0$ пересечений с гиперболой нет вовсе, значит не более одного решения.
Следовательно три различных решения получаются ровно при $0<a<4$ , кроме $a=1$ , то есть $a\in(0;1)\cup(1;4)$ .

Типичные ошибки

Забывают учесть область определения $y<4$ и включают точку $a=4$ , где решение на границе не подходит.
Не проверяют совпадение точек пересечения прямой с $y=2$ и с гиперболой при $a=1$ , из-за чего теряют исключение этого значения.
Ошибаются в количестве корней уравнения $x^2=4/a$ , забывая, что при $a\le0$ решений нет вовсе.

Непонятно?

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Типичные ошибки

Похожие задачи