Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Преобразуем второе уравнение. $xy-x-2y+2=0$ группируем: $x(y-1)-2(y-1)=0$, то есть $(x-2)(y-1)=0$. Значит, второе уравнение задаёт объединение двух прямых $x=2$ и $y=1$.

2. Разбираем первое уравнение. $3|x-2a|+2|y-a|=6$ — уравнение ромба с центром $(2a,a)$, диагональ по оси $Ox$ равна $2\cdot2=4$ (полудлина 2, так как $6/3=2$), диагональ по оси $Oy$ равна $2\cdot3=6$ (полудлина 3, так как $6/2=3$). Вершины ромба: $(2a\pm2,\,a)$ и $(2a,\,a\pm3)$.

3. Когда решений ровно 3? Пересечение ромба с двумя прямыми даёт максимум 4 точки (по 2 на каждую прямую). Три решения возможны либо когда одна прямая проходит через вершину ромба (даёт 1 точку), а вторая пересекает ромб по стороне (2 точки), либо когда обе прямые пересекаются ровно в точке на стороне ромба (не в вершине) — тогда эта общая точка считается один раз, и всего получится 3 различные точки.

4. Случай вершины на $y=1$: верхняя/нижняя вершина $(2a,a\pm3)$ лежит на $y=1$, если $a+3=1$ или $a-3=1$, то есть $a=-2$ или $a=4$. Но расстояние от центра ромба до прямой $x=2$ равно $|2a-2|$; при $a=-2$ и $a=4$ это расстояние равно 6, что больше полудиагонали 2, значит прямая $x=2$ ромб не пересекает — эти значения не подходят.

5. Случай вершины на $x=2$: правая/левая вершина $(2a\pm2,a)$ лежит на $x=2$, если $2a+2=2$ или $2a-2=2$, то есть $a=0$ или $a=2$. Расстояние от центра до прямой $y=1$ равно $|a-1|$; при $a=0$ и $a=2$ оно равно 1, что меньше полудиагонали 3 — прямая $y=1$ пересекает ромб в двух точках. Значит $a=0$ и $a=2$ подходят.

6. Случай пересечения прямых на стороне ромба. Прямые $x=2$, $y=1$ пересекаются в точке $(2,1)$. Подставим в первое уравнение: $3|2-2a|+2|1-a|=6$, то есть $6|1-a|+2|1-a|=8|1-a|=6$, откуда $|a-1|=\dfrac{3}{4}$, значит $a=\dfrac14$ или $a=\dfrac74$. При этом нужно, чтобы точка $(2,1)$ не была вершиной ромба, то есть $a\ne1$ — оба найденных значения удовлетворяют этому условию, значит подходят.

Итог: система имеет ровно три решения при $a=2,\ \dfrac14,\ \dfrac74,\ 0$.