Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Упрощаем первое уравнение. Так как $\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|$, числитель дроби раскладывается как произведение: $(y+|x+2|)(y+|x+2|-6)=0$. Значит первое уравнение равносильно объединению $y=-|x+2|$ или $y=6-|x+2|$.

2. ОДЗ. Знаменатель содержит $\sqrt{x^2-2x}$, значит нужно $x^2-2x\ge0$, то есть $x\le0$ или $x\ge2$. Это отбирает только часть каждого «уголка» — два луча с вершинами в точках при $x=0$ и $x=2$.

3. Преобразуем второе уравнение. Из $y-x(x+4)+a^2=6a-10$ получаем $y=x^2+4x-a^2+6a-10=(x+2)^2+b$, где $b=-a^2+6a-14$. Это семейство парабол с осью $x=-2$, старшим коэффициентом 1, вершина сдвигается по вертикали при изменении $a$.

4. Геометрический анализ. Нужно, двигая параболу вверх-вниз (меняя $b$), посчитать число пересечений с ломаной (двумя лучами модулей на указанных участках $x\le0$, $x\ge2$). Критические положения — когда вершина парабола проходит через угловые точки ломаной $A(0;4)$, $B(0;-2)$, $C(2;2)$, $D(2;-4)$, которым соответствуют $b=0,-6,-14,-20$. Анализируя число пересечений на каждом промежутке, получаем ровно 3 решения при $b\in(-20;-14]\cup[-6;0]$.

5. Возвращаемся к $a$. Подставляем $b=-(a-3)^2-5$ и решаем систему неравенств, получая $9\le(a-3)^2<15$ или $(a-3)^2\le1$, откуда после раскрытия модулей получаем итоговое объединение промежутков для $a$.