Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Упрощаем первое уравнение. Обе части $\sqrt{x^2+2xy+3y^2}=\sqrt{x^2-y^2}$ неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат: $x^2+2xy+3y^2=x^2-y^2 \Rightarrow 4y^2+2xy=0 \Rightarrow 2y(2y+x)=0$, то есть $y=0$ или $y=-\frac12x$.

2. Проверяем $x=0$. Тогда левая часть второго уравнения $\dfrac{x^6}{(x^2+y^2)^2}(a-x)=0\ne2$ — решений нет, значит $x\ne0$.

3. Подставляем каждый случай во второе уравнение.

• При $y=0$: $\dfrac{x^6}{x^4}(a-x)=2\Rightarrow x^2(a-x)=2\Rightarrow x^3-ax^2+2=0$ — обозначим это $f(x)=0$.
• При $y=-\frac12x$: $x^2+y^2=\frac54x^2$, получаем $x^2(a-x)=\frac{25}{8}\Rightarrow x^3-ax^2+\frac{25}{8}=0$ — это $g(x)=0$, причём $g(x)=f(x)+\frac98$.

Ветви не пересекаются (разные $y$), поэтому число решений системы равно сумме числа корней $f(x)=0$ и $g(x)=0$.

4. Анализ количества корней. $f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)$, критические точки $x=0,\ x=\frac{2a}{3}$. Так как $f$ и $g$ отличаются на константу, у них одни и те же критические точки. При $a\le0$ каждая функция монотонна или имеет один максимум — по одному корню у каждой (итого 2, не подходит).

При $a>0$ точка $x=0$ — локальный максимум ($f(0)=2>0$), $x=\frac{2a}{3}$ — локальный минимум. Ровно 4 решения получаются, когда $f$ имеет 3 корня, а $g$ — 1 (другие комбинации из‑за малого сдвига $\frac98$ невозможны). Это равносильно: $$f\!\left(\frac{2a}{3}\right)<0,\quad g\!\left(\frac{2a}{3}\right)>0.$$

5. Вычисляем значения в критической точке. $f\!\left(\frac{2a}{3}\right)=-\dfrac{4a^3}{27}+2$, $g\!\left(\frac{2a}{3}\right)=-\dfrac{4a^3}{27}+\dfrac{25}{8}$.

Условие $f<0$: $a^3>\dfrac{27}{2}\Rightarrow a>\dfrac{3\sqrt[3]{4}}{2}$. Условие $g>0$: $a^3<\dfrac{675}{32}\Rightarrow a<\dfrac{3\sqrt[3]{50}}{4}$.

6. Итог. Оба условия совместимы (учитывая $a>0$), получаем $$\dfrac{3\sqrt[3]{4}}{2}<a<\dfrac{3\sqrt[3]{50}}{4}.$$