Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Первое уравнение перепишем как квадратное относительно $y$: $y^2+(x^2-2)y+63-7x^2$... но проще сгруппировать: $yx^2+y^2-2y-63+7x^2=0$. Разложив, получаем $(y+7)(y+x^2-9)=0$, то есть система первого уравнения равносильна совокупности $y=-7$ или $y=9-x^2$.

2. Случай $y=-7$: из $x+y=a$ находим $x=a+7$ — ровно одно решение, но оно годится только при условии $x\ge -3$, то есть при $a\ge -10$.

3. Случай $y=9-x^2$: подставляя в $x+y=a$, получаем $9-x^2=a-x$, то есть $x^2-x+(a-9)=0$. Дискриминант $D=1-4(a-9)=37-4a$. При $a>9{,}25$ корней нет, при $a=9{,}25$ — один корень $x=0{,}5$, при $a<9{,}25$ — два корня.

4. Так как вершина параболы $x_0=0{,}5>0$ (ветви вверх), оба корня будут $\ge -3$, если значение функции в точке $-3$ неотрицательно: $9+3+a-9\ge 0$, то есть $a\ge -3$. Если $a<-3$, один корень меньше $-3$ (отбрасываем), второй больше — остаётся одно решение.

5. Считаем суммарное число решений по промежуткам: при $a<-10$ — 1 (только из случая 2), при $-10\le a<-3$ — 2, при $-3\le a<9{,}25$ — 3, при $a=9{,}25$ — 2, при $a>9{,}25$ — 1.

6. Нужно проверить совпадение решений между случаями: $-7=9-x^2\Rightarrow x=\pm4$; с учётом $x\ge -3$ берём $x=4$, тогда $a=x+y=4-7=-3$. При $a=-3$ одно решение из случая (2) совпадает с решением из случая (1), значит вместо 3 решений получаем 2.

Итог: ровно два решения при $-10\le a\le -3$ и при $a=9{,}25$.