Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Разложим второе уравнение на множители: $x^2-xy+2x-2y=x(x-y)+2(x-y)=(x-y)(x+2)=0$. Значит, оно равносильно совокупности $x=y$ или $x=-2$ — это две прямые, и решения системы получаются подстановкой каждой из них в первое уравнение $|x|+|2y|=2a$.

1. При $x=-2$: $2+2|y|=2a \Rightarrow |y|=a-1$. Уравнение имеет решения только при $a\ge1$, и тогда $y=\pm(a-1)$, то есть точки $(-2,\,a-1)$ и $(-2,\,1-a)$. Они различны при $a>1$, а совпадают (дают одну точку) при $a=1$.

2. При $x=y$: $|y|+2|y|=2a \Rightarrow 3|y|=2a \Rightarrow |y|=\dfrac{2a}{3}$, что возможно при $a\ge0$. Отсюда $y=\pm\dfrac{2a}{3}$, точки $\left(\dfrac{2a}{3},\dfrac{2a}{3}\right)$ и $\left(-\dfrac{2a}{3},-\dfrac{2a}{3}\right)$, совпадающие при $a=0$.

Таким образом всего может быть максимум 4 точки: две из первой прямой и две из второй. Чтобы их было ровно 4 (без совпадений между собой), нужно $a>1$ (иначе решений из первой группы меньше двух) и нужно исключить случай, когда точка $(-2,-2)$ (общая для обеих прямых) совпадает с одной из точек второй группы — это происходит при $a=3$, потому что тогда $-\dfrac{2a}{3}=-2$. При $a=3$ количество различных решений уменьшается до 3, поэтому это значение нужно исключить.

В итоге при $a>1$ и $a\ne3$ система имеет ровно 4 различных решения, то есть $a\in(1;3)\cup(3;+\infty)$.