Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Введём замену $t=2x-x^2$. Заметим, что $(x-1)^2\ge0$, то есть $-x^2+2x-1\le0$, откуда $2x-x^2\le1$, значит $t\le1$. При этом каждому $t<1$ соответствуют два значения $x$ (парабола симметрична), а значению $t=1$ — ровно одно значение $x$ (вершина параболы). Это важно для подсчёта количества решений исходной системы через количество решений вспомогательной.

Система переписывается как $|y|+|t|=4,\ y^2+t^2=a^2,\ t\le1$.

Первое уравнение на плоскости $tOy$ задаёт квадрат с вершинами $(0,4),(4,0),(0,-4),(-4,0)$ — это стандартный вид уравнения $|y|+|t|=const$. Второе уравнение — окружность радиуса $|a|$ с центром в начале координат. Нужно найти пересечения окружности со сторонами квадрата, лежащие в полуплоскости $t\le1$, и посчитать, сколько x соответствует каждому найденному t.

Ключевые радиусы: расстояние от центра до сторон квадрата равно $2\sqrt2$ (кратчайшее расстояние до прямой стороны), а расстояние до точек пересечения стороны с прямой $t=1$ равно $\sqrt{10}$ (из уравнения $t+y=4,\ t=1\Rightarrow y=3$, тогда $r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$).

Анализируя последовательно значения $|a|$, получаем: при $|a|<2\sqrt2$ решений нет; при $|a|=2\sqrt2$ — 2 точки касания сторон, все с $t<1$, дают 4 решения x; при $2\sqrt2<|a|<\sqrt{10}$ — 4 точки пересечения, все с $t<1$, дают $4\cdot2=8$ решений; при $|a|=\sqrt{10}$ часть точек попадает на границу $t=1$, что уменьшает кратность и даёт 10 решений; далее число решений снова растёт до 12, потом падает до 6 при $|a|=4$, и при $|a|>4$ решений нет.

Таким образом ровно 8 решений получается при $2\sqrt2<|a|<\sqrt{10}$, то есть $a\in(-\sqrt{10};-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;\sqrt{10})$.