Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение. Запишем $2x^2+2y^2=|x|+|y|$ как $|x|^2-\frac12|x|+|y|^2-\frac12|y|=0$ (используем $x^2=|x|^2$). Дополняя каждое выражение до полного квадрата (выделяем $(|x|-\frac14)^2$ и $(|y|-\frac14)^2$), получаем $$\left(|x|-\tfrac14\right)^2+\left(|y|-\tfrac14\right)^2=\tfrac18.$$ Это уравнение симметрично относительно обеих осей: в первой четверти ($x,y\ge0$) оно задаёт дугу окружности с центром $(\tfrac14,\tfrac14)$ и радиусом $r=\frac{\sqrt2}{4}$, а полный график получается отражением этой дуги в остальные три четверти — получается «цветок» из четырёх дуг, касающихся осей.

Шаг 2. Преобразуем второе уравнение. $\dfrac{y-3}{x-3}=a \iff y=a(x-3)+3,\ x\ne3$. При $x=3$ первое уравнение не выполняется (проверяется подстановкой), значит ограничение $x\ne3$ не отбрасывает решений — можно работать с прямой $y=a(x-3)+3$, проходящей через точку $A(3;3)$.

Шаг 3. Геометрический анализ. Число решений системы — число точек пересечения прямой (пучка прямых через $A(3;3)$) с построенным графиком. Меняя наклон прямой, отслеживаем, когда число пересечений равно 3 — это происходит в переходных, «граничных» положениях:

• прямая проходит через точку $(0;0)$ — точка графика на стыке четырёх дуг;
• прямая проходит через $(0;\tfrac12)$ или $(\tfrac12;0)$ — точки, где дуга касается оси;
• прямая касается дуги в первой четверти (два симметричных положения касания).

Шаг 4. Находим значения $a$. Подстановка точки $(0,0)$: $a=1$. Подстановка $(0,\tfrac12)$: $\tfrac12=a(-3)+3\Rightarrow a=\tfrac56$. Подстановка $(\tfrac12,0)$: $0=a(\tfrac12-3)+3\Rightarrow a=\tfrac65$.

Для касания используем формулу расстояния от центра окружности $(\tfrac14,\tfrac14)$ до прямой $ax-y-3a+3=0$, равного радиусу $r=\frac{\sqrt2}{4}$: $$\frac{\left|\frac14a-\frac14-3a+3\right|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\sqrt2}{4}.$$ Преобразуя, получаем $|11(1-a)|=\sqrt{2a^2+2}$, откуда после возведения в квадрат — $119a^2-242a+119=0$. Решая квадратное уравнение по формуле корней: $a=\dfrac{121\pm\sqrt{121^2-119^2}}{119}=\dfrac{121\pm4\sqrt{30}}{119}$.

Итог. Собирая все найденные значения, получаем пять значений параметра, при которых система имеет ровно три решения.