Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Перепишем первое уравнение: $(xy-2x+16)\sqrt{y-2x+16}=0$ при $y-2x+16\ge0$. Это верно либо когда $y=2x-16$ (тогда корень равен нулю — вся прямая входит в решение), либо когда $xy-2x+16=0$, то есть $y=2-\dfrac{16}{x}$, при условии $y\ge 2x-16$.

Найдём пересечение прямой и гиперболы: $2x-16=2-\dfrac{16}{x}\Rightarrow x^2-9x+8=0\Rightarrow x=1,\;x=8$, точки $(1;-14)$ и $(8;0)$. Проверка знака показывает: при $x<0$ гипербола всегда выше прямой (условие выполняется автоматически), а при $x>0$ — только на $[1;8]$. Значит множество решений первого уравнения = вся прямая $y=2x-16$ + левая ветвь гиперболы ($x<0$) + дуга гиперболы на $[1;8]$.

Второе уравнение — прямая $y=ax-14$ через $(0;-14)$. Считаем число её пересечений с построенным множеством.

При $a<0$: с прямой $y=2x-16$ всегда одна точка пересечения (углы разные); квадратное уравнение $ax^2-16x+16=0$ даёт корни разных знаков, отрицательный всегда попадает на левую ветвь, положительный лежит ниже прямой $y=2x-16$ и не входит в множество. Итого ровно 2 решения — все $a<0$ подходят.

При $a=0$: прямая $y=-14$ пересекает гиперболу и прямую в одной и той же точке $(1;-14)$ — только 1 решение, не подходит.

При $a>0$: с левой ветвью пересечений нет. С прямой $y=2x-16$ — одно решение (кроме $a=2$, где прямые параллельны). Остаётся дуга $[1;8]$:

• касание при $D=256-64a=0\Rightarrow a=4$ — одно решение дуги + одно от прямой = 2, подходит;
• при $a=2$ прямые параллельны, а корни $4\pm2\sqrt2$ оба лежат в $[1;8]$ — 2 решения, подходит;
• проверка положения точки $x=8$: при $a\cdot8-14\le0$, т.е. $0<a\le7/4$, дуга даёт ровно одно подходящее решение плюс решение от прямой — итого 2, подходит;
• для остальных значений получается либо 1, либо 3 решения — не подходит.

Объединяя случаи: $a\in(-\infty;0)\cup(0;7/4]\cup\{2;4\}$.