Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Перепишем неравенства так, чтобы выразить границы для $x$ при фиксированном $a$:

1. $a+3x\le12 \Rightarrow x\le 4-\dfrac{a}{3}$;
2. $a\le x$;
3. $a+4x\ge x^2 \Rightarrow a\ge x^2-4x$, то есть $x^2-4x-a\le0$, откуда $x\in[2-\sqrt{4+a};\,2+\sqrt{4+a}]$ (нужно $a\ge-4$).

Из (1) и (2) получаем отрезок $[a;\,4-\dfrac{a}{3}]$ — это множество $x$, удовлетворяющих линейным условиям. Из (3) получаем отрезок $[2-\sqrt{4+a};\,2+\sqrt{4+a}]$ — множество $x$, удовлетворяющих квадратичному условию. Полное решение системы — пересечение этих двух отрезков.

Чтобы пересечение было отрезком длины 2, один из отрезков должен целиком лежать внутри другого — тогда пересечение равно более короткому из них.

Случай 1. Линейный отрезок короче и лежит внутри параболического: решение $=[a;\,4-\frac{a}{3}]$, его длина $4-\frac{a}{3}-a=2\Rightarrow a=\dfrac32$.

Случай 2. Параболический отрезок короче и лежит внутри линейного: решение $=[2-\sqrt{4+a};\,2+\sqrt{4+a}]$, его длина $2\sqrt{4+a}=2\Rightarrow \sqrt{4+a}=1\Rightarrow a=-3$.

При проверке оба значения дают корректное вложение отрезков, значит оба подходят.