Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Третье неравенство не содержит параметра, раскроем модули по промежуткам: $|x-9|+|x-27|\le18$. При $x<9$ получаем $x\ge9$ — противоречие; при $9\le x\le27$ сумма равна $18$ всегда — подходит весь промежуток; при $x>27$ получаем $x\le27$ — противоречие. Значит третье условие равносильно $9\le x\le27$.

При таких $x>0$ второе неравенство $ax\ge9$ равносильно $a\ge \dfrac{9}{x}$, а первое остаётся $a\le 3\log_3x$. Значит система превращается в двойное неравенство $$\dfrac{9}{x}\le a\le 3\log_3x,\qquad 9\le x\le27.$$

Удобно смотреть на это как на область на плоскости $xOa$: для каждого $x$ значение $a$ должно лежать между графиками $a=9/x$ (снизу) и $a=3\log_3x$ (сверху), причём $x$ ограничен полосой $[9;27]$. При фиксированном $a$ множество допустимых $x$ — это отрезок $[x_a;27]$, где правый конец всегда $27$ (там обе кривые дают более широкий диапазон для $a$), а левый конец $x_a$ определяется тем, какая из кривых «выше» — либо из уравнения $a=9/x_a$, либо из $a=3\log_3x_a$.

Длина отрезка равна $27-x_a=15\Rightarrow x_a=12$.

Случай 1: $x_a$ находится из $a=9/x_a\Rightarrow a=9/12=3/4$. Случай 2: $x_a$ находится из $a=3\log_3x_a\Rightarrow a=3\log_312=3+3\log_34=3+6\log_32$.

Оба значения лежат в диапазоне, где решение действительно является отрезком, поэтому оба подходят.