Задание 3 ЕГЭ: пирамида — формулы, метод решения и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 3 профильного ЕГЭ по стереометрии проверяет умение работать с базовыми многогранниками — призмой, параллелепипедом, пирамидой, а также телами вращения. Пирамида — один из самых частых объектов в этом задании. Обычно задача даёт два-три числовых параметра (сторону основания, высоту, объём, площадь боковой поверхности или бокового ребра) и просит найти ещё один. Никаких сложных построений и доказательств не требуется — нужно грамотно применить одну-две формулы и, возможно, теорему Пифагора. Сложность в том, чтобы правильно увидеть, какой отрезок или угол связывает известные данные с искомой величиной, и не перепутать формулы площади и объёма.

В подавляющем большинстве вариантов встречаются правильные пирамиды — треугольные (в основании равносторонний треугольник) и четырёхугольные (в основании квадрат). Реже — произвольные пирамиды с прямым двугранным углом или пирамиды, где боковое ребро перпендикулярно основанию. Понимание геометрии правильной пирамиды закрывает почти все варианты этого типа.

Что нужно знать

Объём пирамиды. Для любой пирамиды (не обязательно правильной) объём вычисляется по формуле: $$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot h,$$ где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота, то есть расстояние от вершины до плоскости основания.

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр. Из этого следует важный факт: высота пирамиды, опущенная из вершины, попадает точно в центр основания (для треугольника — в точку пересечения медиан, для квадрата — в точку пересечения диагоналей). Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Апофема. Апофема — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. В равнобедренном треугольнике боковой грани она же является медианой и биссектрисой, то есть делит сторону основания пополам.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Она равна сумме площадей всех боковых граней. Если сторона основания равна $a$, апофема равна $m$, а число сторон основания $n$, то: $$S_{бок}=n\cdot\frac12\cdot a\cdot m = \frac12\cdot P_{\text{осн}}\cdot m,$$ где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания. Эта формула — одна из самых используемых в заданиях с пирамидой.

Прямоугольные треугольники внутри пирамиды. Ключевая идея решения почти любой задачи про пирамиду — выделить прямоугольный треугольник, у которого один катет — высота пирамиды $h$, а гипотенуза или другой катет — искомая или известная величина (боковое ребро, апофема, диагональ основания и т.д.). Такой треугольник образуется, потому что высота перпендикулярна плоскости основания.

Для правильной треугольной пирамиды нужно помнить:

• сторона основания равностороннего треугольника $a$, его площадь $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$;
• расстояние от центра (точки пересечения медиан) до вершины треугольника — это $\dfrac{2}{3}$ медианы;
• расстояние от центра до середины стороны (то есть до основания апофемы) — это $\dfrac13$ медианы.

Для правильной четырёхугольной пирамиды (основание — квадрат со стороной $a$):

• площадь основания $S=a^2$;
• диагональ квадрата $d=a\sqrt2$, половина диагонали равна расстоянию от центра квадрата до его вершины;
• боковое ребро $l$, высота $h$ и половина диагонали связаны теоремой Пифагора: $$l^2=h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2.$$

Теорема Пифагора — главный инструмент для связи высоты пирамиды, апофемы, бокового ребра и элементов основания. Практически каждая задача про пирамиду сводится к одному применению этой теоремы после того, как формула объёма или площади дала нужное промежуточное значение.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить тип пирамиды. Правильная треугольная, правильная четырёхугольная или произвольная. Это сразу подсказывает, какие формулы площади основания и какие соотношения между элементами использовать.

2. Выписать все данные и искомую величину. Обозначить сторону основания, высоту, боковое ребро, апофему буквами, если они не даны напрямую.

3. Выбрать формулу, связывающую данные с промежуточной или искомой величиной. Чаще всего это формула объёма $V=\frac13 S_{\text{осн}}h$ или формула площади боковой поверхности через апофему и периметр.

4. Найти сторону основания или другую промежуточную величину, если она напрямую не дана — обычно через объём или площадь.

5. Построить нужный прямоугольный треугольник. Мысленно (или на чертеже) выделить треугольник, где один катет — высота пирамиды, а гипотенуза — боковое ребро, либо катет — апофема, а гипотенуза — боковое ребро или наоборот, в зависимости от того, что дано и что нужно найти.

6. Применить теорему Пифагора и вычислить искомую величину.

7. Проверить правдоподобность ответа: боковое ребро не может быть короче высоты, апофема не может быть короче половины стороны и так далее — простая проверка на ошибку в вычислениях.

Важно понимать разницу между высотой пирамиды, апофемой и боковым ребром — это три разных отрезка, и путаница между ними — основная причина неверных ответов в этом задании.

Разбор примера

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $Q$ — середина ребра $AB$, $S$ — вершина. Известно, что $BC=7$, а площадь боковой поверхности пирамиды равна $42$. Найдите длину отрезка $SQ$.

Шаг 1. Понять геометрический смысл отрезка $SQ$. Пирамида правильная, значит основание — равносторонний треугольник со стороной $a=BC=7$ (все стороны равны). Точка $Q$ — середина стороны $AB$. Отрезок $SQ$ соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания, то есть является медианой боковой грани $SAB$. Так как грань $SAB$ — равнобедренный треугольник (боковые рёбра правильной пирамиды равны), медиана, проведённая к основанию $AB$, совпадает с высотой этого треугольника — апофемой.

Шаг 2. Записать формулу площади одной боковой грани. Площадь треугольника $SAB$ через основание $AB$ и высоту $SQ$: $$S_{SAB}=\frac12\cdot AB\cdot SQ=\frac12\cdot 7\cdot SQ.$$

Шаг 3. Использовать симметрию правильной пирамиды. Все три боковые грани равны, поэтому площадь боковой поверхности равна утроенной площади одной грани: $$S_{бок}=3\cdot\frac12\cdot 7\cdot SQ=\frac{21}{2}\,SQ.$$

Шаг 4. Подставить данное значение и решить уравнение. $$\frac{21}{2}\,SQ=42\ \Rightarrow\ SQ=\frac{42\cdot 2}{21}=4.$$

Ответ: $SQ=4$.

Пример 2. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $12$, объём равен $200$. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Шаг 1. Найти сторону основания через объём. Основание — квадрат со стороной $a$, площадь основания $S_{\text{осн}}=a^2$. По формуле объёма: $$V=\frac13\,S_{\text{осн}}\,h\quad\Rightarrow\quad 200=\frac13\cdot a^2\cdot 12=4a^2.$$ Отсюда $a^2=50$.

Шаг 2. Найти половину диагонали основания. Высота правильной пирамиды опускается в центр квадрата — точку пересечения диагоналей. Диагональ квадрата $d=a\sqrt2$, значит: $$\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{d^2}{4}=\frac{2a^2}{4}=\frac{a^2}{2}=\frac{50}{2}=25\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{2}=5.$$

Шаг 3. Построить прямоугольный треугольник для бокового ребра. Боковое ребро $l$ соединяет вершину пирамиды с вершиной квадрата. Оно является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота пирамиды $h$ и отрезок от центра основания до вершины квадрата, то есть половина диагонали $\frac{d}{2}$. По теореме Пифагора: $$l=\sqrt{h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: боковое ребро равно $13$.

Оба примера показывают общую логику: сначала через объём или площадь находим сторону основания (или сразу используем данный отрезок), затем строим прямоугольный треугольник, связывающий высоту, апофему или половину диагонали с искомой величиной, и применяем теорему Пифагора или формулу площади треугольника.

Типичные ошибки

Путаница между апофемой и высотой пирамиды. Апофема лежит в боковой грани и наклонена к основанию, высота пирамиды перпендикулярна основанию целиком. Это разные отрезки, и подставлять одно вместо другого в формулу объёма — грубая ошибка.

Неверное нахождение центра основания. В треугольной пирамиде центр (точка пересечения медиан) делит медиану в отношении $2:1$ от вершины, а не пополам. Ошибка в этом делении сразу портит весь расчёт бокового ребра.

Путаница между диагональю и стороной квадрата. При работе с четырёхугольной пирамидой часто забывают, что расстояние от центра квадрата до вершины — это половина диагонали $\dfrac{a\sqrt2}{2}$, а не половина стороны.

Ошибка в формуле площади боковой поверхности. Иногда путают апофему пирамиды (высоту боковой грани) с апофемой основания (радиусом вписанной окружности многоугольника) — это разные величины, хотя в некоторых задачах могут почти совпадать по числу, что усиливает путаницу.

Забывают квадратный корень. После применения теоремы Пифагора находят сумму квадратов катетов, но забывают извлечь корень — записывают в ответ квадрат искомой длины.

Неверная площадь равностороннего треугольника. Формулу $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ иногда путают с формулой площади произвольного треугольника, забывая, что она применима только к равностороннему.

На что обратить внимание на экзамене

Перед решением стоит чётко определить: это правильная пирамида или нет, и какая фигура лежит в основании — треугольник или квадрат. От этого зависит выбор формулы площади основания и геометрия расположения центра.

Полезно мысленно (или на черновике) нарисовать сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину, центр основания и середину стороны (или через вершину основания) — это сразу выявляет нужный прямоугольный треугольник и избавляет от путаницы между апофемой, высотой и боковым ребром.

Стоит помнить наизусть значения: для равностороннего треугольника площадь через сторону, для квадрата — диагональ через сторону и обратно. Эти формулы используются почти в каждой задаче про пирамиду и экономят время.

При вычислениях полезно держать в уме, что боковое ребро всегда длиннее высоты пирамиды (это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом-высотой), а апофема всегда длиннее половины стороны основания, на которую она опущена. Такая проверка на правдоподобие часто помогает заметить арифметическую ошибку ещё до сверки с ответом.

Наконец, задание 3 обычно не требует громоздких вычислений — если в процессе решения появляются некрасивые дробные или иррациональные числа, стоит перепроверить, не перепутаны ли какие-то отрезки или не выбрана ли неверная формула.