Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат, а высота проходит через его центр O.

Шаг 1: Найдём расстояние от центра основания до вершины основания.

Обозначим вершину пирамиды как S, а одну из вершин квадрата основания как C. Дано: $SO = 6$ (высота), $SC = 10$ (боковое ребро).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $SOC$: $$OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Шаг 2: Найдём площадь основания.

Отрезок $OC$ — это половина диагонали квадрата (расстояние от центра до вершины). Значит, диагональ квадрата равна $2 \cdot 8 = 16$.

Для квадрата с диагональю $d$ площадь равна $\frac{d^2}{2}$: $$S_{осн} = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128$$

Шаг 3: Вычислим объём.

Формула объёма пирамиды: $$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = \frac{768}{3} = 256$$