ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 902. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Высота правильной пирамиды опускается в центр основания (центроид), и задача сводится к прямому применению формулы объёма пирамиды с дальнейшим выражением высоты через известные объём и площадь основания.

В правильной треугольной пирамиде вершина S проецируется на основание в точку, которая совпадает с центром основания. Поскольку медианы треугольника ABC пересекаются в точке O, это означает, что O — центроид (центр масс) треугольника ABC, то есть именно та точка, на которую проецируется вершина S.

Прямая SO, соединяющая вершину пирамиды с этой точкой, перпендикулярна плоскости основания — это высота пирамиды.

Вспомним формулу объёма пирамиды: V=13Sоснования⋅hV = \frac{1}{3}S_{\text{основания}} \cdot h

В нашем случае основанием служит треугольник ABC с площадью SABC=9S_{ABC} = 9, а высота — это отрезок SO, который нам нужно найти.

Подставим известные значения в формулу: 6=13⋅9⋅SO6 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot SO

Умножим обе части на 3: 18=9⋅SO18 = 9 \cdot SO

Разделим на 9: SO=2SO = 2

Отрезок OS имеет длину 2.

Типичные ошибки

  • Путаница между центроидом (пересечением медиан) и другими замечательными точками треугольника — в правильной пирамиде высота проходит именно через центроид.
  • Ошибка в формуле объёма: забывают коэффициент 1/3 или неправильно его применяют.
  • Неправильная алгебра при выражении SO из формулы объёма — например, деление на неправильное число вместо умножения на 3.

Ещё задачи этой подтемы