ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 904. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2, объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка OS.

В подтеме 69 задач

Разбор

Главная идея: В правильной пирамиде высота падает в центр основания; используй формулу объёма пирамиды и выражение высоту через объём и площадь основания.

В правильной треугольной пирамиде вершина S проецируется на основание в точку пересечения медиан, то есть в центр масс треугольника ABC. По условию эта точка обозначена как O.

Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания, поэтому SO — это высота пирамиды.

Для объёма пирамиды используем формулу: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Подставляем известные значения: объём $V = 4$ , площадь основания $S_{ABC} = 2$ , высота $SO$ — неизвестна.

$4 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot SO$

Умножаем обе части на 3: $12 = 2 \cdot SO$

Делим на 2: $SO = 6$

Ответ: 6

Типичные ошибки

Забыли, что в правильной пирамиде высота проходит через центр (точку пересечения медиан), а не через вершину треугольника.
Неправильно применили формулу объёма — например, забыли множитель $\frac{1}{3}$ или перепутали высоту с боковым ребром.
Ошибка в алгебре: неправильно выразили SO из уравнения $V = \frac{1}{3} S \cdot SO$ .

Задача 904. Пирамида

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы