Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия — куб, призма, пирамида, тела вращения

Что проверяет задание

Задание 3 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение работать с пространственными фигурами на базовом уровне: находить расстояния, площади поверхностей и объёмы куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара, а также составных (комбинированных) многогранников. Здесь не требуется сложных построений сечений или векторного аппарата — достаточно знания формул, теоремы Пифагора и аккуратного анализа рисунка. Главная сложность — не в вычислениях, а в правильном «прочтении» чертежа: понять, какие рёбра, грани и углы прямые, какие тела складываются или вычитаются.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание всегда сопровождается рисунком (в реальном варианте — картинкой, здесь описанной словами) и содержит одну из типовых формулировок:

• «Найдите квадрат расстояния между вершинами...»;
• «Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке...»;
• «Найдите объём тела...»;
• «Во сколько раз изменится объём/площадь при изменении размеров...».

За задание даётся 1 первичный балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, вводится без единиц измерения. Задание относится к базовому уровню сложности, поэтому ошибка в нём особенно обидна на фоне более сложных номеров.

Что нужно знать

Куб и прямоугольный параллелепипед

• Диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a,b,c$: $d^2=a^2+b^2+c^2$.
• Диагональ куба со стороной $a$: $d=a\sqrt3$.
• Площадь поверхности параллелепипеда: $S=2(ab+bc+ac)$.
• Объём параллелепипеда: $V=abc$; объём куба: $V=a^3$.

Призма

• Объём: $V=S_{\text{осн}}\cdot h$.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$.
• Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$: $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
• Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$: $S=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}$.

Пирамида

• Объём: $V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h$.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\dfrac{1}{2}P_{\text{осн}}\cdot l$, где $l$ — апофема.

Цилиндр

• Объём: $V=\pi r^2 h$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=2\pi rh$.
• Полная поверхность: $S=2\pi r(r+h)$.

Конус

• Объём: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=\pi r l$, где $l$ — образующая, $l^2=r^2+h^2$.

Шар

• Объём: $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Площадь поверхности: $S=4\pi R^2$.

Составные многогранники

• Объём составного тела равен сумме (или разности) объёмов частей.
• При склейке двух тел общие соприкасающиеся грани не входят в площадь поверхности — их нужно вычесть дважды (по разу с каждого тела).

Методы решения

1. Метод трёх измерений (для параллелепипеда). Если нужно найти расстояние между противоположными вершинами прямоугольного параллелепипеда, применяется формула $d^2=a^2+b^2+c^2$ — это удобнее, чем дважды применять теорему Пифагора. Мини-пример: рёбра $3,4,12$ → $d^2=9+16+144=169$, $d=13$.

2. Разбиение фигуры на простые части. Составной многогранник или тело мысленно делится на призмы, параллелепипеды или пирамиды, для каждой части считается объём или площадь отдельно, затем результаты складываются или вычитаются. Мини-пример: фигура-«ступенька» из двух кубов со стороной 2 и 1 имеет объём $V=2^3+1^3=9$.

3. Метод «вычитания склеенных граней». При нахождении площади поверхности составного тела считают сумму площадей поверхностей отдельных частей, а затем вычитают удвоенную площадь каждой общей (склеенной) грани, поскольку она перестаёт быть внешней с обеих сторон. Мини-пример: два кубика со стороной 2 склеены гранью — общая площадь поверхности $= 2\cdot(6\cdot4) - 2\cdot4 = 40$.

4. Метод сохранения объёма при переливании/переплавке. Если тело переформировывают в другую фигуру (лёд, вода, пластилин), объём остаётся постоянным: $V_1=V_2$. Из этого равенства выражают неизвестную величину (высоту, сторону и т.д.). Мини-пример: цилиндр объёмом 100 переливают в конус с той же площадью основания — высота конуса будет в 3 раза больше высоты цилиндра.

5. Метод сечений и вписанных/описанных тел. В задачах на комбинации тел (шар в цилиндре, конус в пирамиде) используют равенство радиусов или высот, следующее из условия касания или вписанности, а затем применяют стандартные формулы объёма/площади. Мини-пример: шар вписан в цилиндр — радиус шара равен радиусу цилиндра и половине его высоты.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно изучить рисунок и условие: определить тип фигуры (простая или составная), какие величины даны, что нужно найти.
2. Отметить прямые углы, параллельные и перпендикулярные рёбра — они указывают, где применима теорема Пифагора или прямое произведение измерений.
3. Если тело составное — мысленно разбить его на простые части (кубы, параллелепипеды, призмы, пирамиды).
4. Выбрать подходящую формулу объёма или площади для каждой части.
5. Учесть общие грани при подсчёте площади поверхности (вычесть их дважды) или убедиться, что объёмы просто складываются.
6. Подставить числовые данные, аккуратно провести вычисления.
7. Проверить размерность ответа и его правдоподобность (для площади — квадратные единицы, для объёма — кубические, но в ответе ЕГЭ единицы не пишутся).

Разбор примеров

Пример 1. Найдите квадрат расстояния между вершинами $C$ и $A_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=5$, $AD=4$, $AA_1=3$.

Вершины $A_1$ и $C$ — концы пространственной диагонали параллелепипеда ($A_1$ находится над $A$, а $C$ — вершина основания, противоположная $A$).

Шаг 1. Найдём диагональ основания $ABCD$. Это прямоугольник со сторонами $AB=5$ и $AD=4$ (при этом $BC=AD$), поэтому по теореме Пифагора: $$AC^2=AB^2+AD^2=25+16=41.$$

Шаг 2. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, значит треугольник $ACA_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$: $$A_1C^2=AC^2+AA_1^2=41+9=50.$$

Тот же результат получается сразу по формуле трёх измерений: $$A_1C^2=AB^2+AD^2+AA_1^2=5^2+4^2+3^2=50.$$

Ответ: 50.

Пример 2. Найдите площадь поверхности многогранника на рисунке (все двугранные углы прямые): нижний прямоугольный параллелепипед $5\times4$, на нём стоит верхний параллелепипед с основанием $3\times2$ и высотой 3, общая высота фигуры — 6.

Шаг 1. Определим высоту нижнего блока: $6-3=3$, значит нижний параллелепипед имеет размеры $5\times4\times3$.

Шаг 2. Площадь поверхности нижнего блока: $$S_1=2(5\cdot4+5\cdot3+4\cdot3)=2(20+15+12)=94.$$

Шаг 3. Площадь поверхности верхнего блока $3\times2\times3$: $$S_2=2(3\cdot2+3\cdot3+2\cdot3)=2(6+9+6)=42.$$

Шаг 4. Верхний блок стоит на нижнем, площадка $3\times2$ является общей гранью — она исчезает и у верхней грани нижнего блока, и у нижней грани верхнего, поэтому её площадь $3\cdot2=6$ вычитается дважды: $$S=S_1+S_2-2\cdot6=94+42-12=124.$$

Ответ: 124.

Пример 3. Кусок льда — правильная шестиугольная призма высотой 18 см. Его переплавляют в правильную треугольную призму со стороной основания в 2 раза больше стороны исходной. Найдите высоту новой призмы.

Шаг 1. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Площадь правильного шестиугольника — сумма 6 равносторонних треугольников со стороной $a$: $$S_1=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$ Объём исходной призмы: $$V_1=S_1\cdot18=\frac{3\sqrt3}{2}a^2\cdot18=27\sqrt3\,a^2.$$

Шаг 2. Сторона новой треугольной призмы равна $2a$, площадь её основания: $$S_2=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}=\sqrt3\,a^2.$$ Объём новой призмы: $V_2=\sqrt3\,a^2\cdot h$.

Шаг 3. Масса и плотность льда не меняются, значит объём сохраняется: $V_1=V_2$: $$\sqrt3\,a^2h=27\sqrt3\,a^2\ \Rightarrow\ h=27.$$

Ответ: 27.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница в формуле диагонали. Иногда забывают, что диагональ основания и пространственная диагональ — разные величины, и складывают не те стороны.
• Неверное определение противоположных вершин. В параллелепипеде важно точно понять, какая вершина основания противолежит данной вершине верхней грани.
• Двойной учёт или пропуск склеенных граней. При подсчёте площади поверхности составного тела частая ошибка — забыть вычесть общую грань дважды или вычесть её только один раз.
• Смешение формул объёма и площади поверхности. Особенно легко перепутать множитель $\dfrac13$ у пирамиды и конуса — про него часто забывают.
• Игнорирование условия сохранения объёма в задачах на переливание/переплавку — вместо равенства объёмов ошибочно приравнивают площади оснований или высоты.
• Ошибки в арифметике с корнями, особенно при работе с правильными многоугольниками (треугольник, шестиугольник), где повсюду встречается $\sqrt3$.
• Невнимательность к рисунку: не учтён факт, что часть рёбер или граней спрятана, и данные считываются неверно.

Как готовиться

1. Выучите наизусть все формулы объёма и площади поверхности из раздела «Что нужно знать» — без них задание не решить быстро.
2. Регулярно решайте задачи на комбинации фигур: куб плюс пирамида, цилиндр плюс полусфера, вычитание одного тела из другого — это помогает развить пространственное воображение.
3. Тренируйтесь мысленно «разбирать» составные тела на простые части прямо по рисунку, отмечая, какие грани являются внутренними (склеенными).
4. Решайте задачи на сохранение объёма (переливание жидкости, переплавка металла или льда) — они регулярно встречаются и имеют единый алгоритм.
5. Проверяйте себя на задачах прошлых лет из открытого банка заданий ЕГЭ — формулировки и типы фигур почти не меняются от года к году.
6. После решения всегда делайте проверку: подставляйте числа обратно в условие, оценивайте, реалистичен ли полученный ответ по порядку величины.